Мера (математика)

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Мера, во математиката, концепт при кој на дадено множество од некој простор му се придружува ненегативен реален број.

Грубо и лаички кажано, мерата означува колку од просторот зафаќа множеството. Таа се воведува од практични причини во реалниот Евклидов простор. Мерата во еднодимензионалниот Евклидов простор е всушност должина, во дводимензионалниот е плоштина, додека во тридимензионалниот - волумен. За сите димензии над третата се користи само терминот мера.

Конструкција на мерата[уреди]

Едни од наједноставните подмножества од множеството реални броеви се интервалите. Особено важни се отворените интервали од облик

(a,b)=\{x\in \Bbb{R} | a<x<b\}

бидејќи секое непразно и отворено подмножество од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина \ell со:

\ell(a,b)=b-a

Нека E\subseteq \Bbb{R} е произволно подмножество од реалните броеви, а \{I_n\}_{n \in \Bbb{N}} е произволна фалимија отворени интервали таква што:

E\subseteq \bigcup_{n\in \Bbb{N}} I_n = \mathcal{U}

Дефинираме надворешна мера на множеството E - m*(E) со:

m^{*}(E) = \inf_{E\subseteq \mathcal{U}} \left \{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n)\right \}

Нека E\subseteq \Bbb{R} е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за E велиме дека е мерливо множество ако:

\left ( \forall A\subseteq \Bbb{R} \right ),\,\,\ m^*(A\cap E)+m^*(A\cup E^c)=m^*(A)

Ако E е мерливо множество, тогаш надворешната мера на E се вика Лебегова мера на E, и пишуваме:

m(E)=m^*(E)

Својства на мерата[уреди]

Најважните својства на мерата се:

  • Преброива субадитивност: за произволна фамилија множества \{E_n\}_{n\in \Bbb{N}} важи:
m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \le \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако E_i \cap E_j = \emptyset,\;i\neq j, тогаш важи:

m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)
  • Ако за фамилијата множества \{E_n\}_{n\in \Bbb{N}} со конечна мера важи: E_1\supseteq E_2\supseteq\dots\supseteq E_n\supseteq\dots, тогаш:
m\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim_{n\to\infty} m(E_n)

Види исто така[уреди]