Мера (математика)

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Мера, во математиката, концепт при кој на дадено множество од некој простор му се придружува ненегативен реален број.

Грубо и лаички кажано, мерата означува колку од просторот зафаќа множеството. Таа се воведува од практични причини во реалниот Евклидов простор. Мерата во еднодимензионалниот Евклидов простор е всушност должина, во дводимензионалниот е плоштина, додека во тридимензионалниот - волумен. За сите димензии над третата се користи само терминот мера.

Конструкција на мерата[уреди | уреди извор]

Едни од наједноставните подмножества од множеството реални броеви се интервалите. Особено важни се отворените интервали од облик

бидејќи секое непразно и отворено подмножество од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина со:

Нека е произволно подмножество од реалните броеви, а е произволна фалимија отворени интервали таква што:

Дефинираме надворешна мера на множеството E - m*(E) со:

Нека е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за велиме дека е мерливо множество ако:

Ако е мерливо множество, тогаш надворешната мера на се вика Лебегова мера на , и пишуваме:

Својства на мерата[уреди | уреди извор]

Најважните својства на мерата се:

  • Преброива субадитивност: за произволна фамилија множества важи:

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако , тогаш важи:

  • Ако за фамилијата множества со конечна мера важи: , тогаш:

Види исто така[уреди | уреди извор]