Логаритамска скала

Логаритамска скала од 0,1 до 100.

Логаритамска скала — скала за мерење, во која се користи логаритамот на дадена (физичка, математичка) величина, наместо самата величина.^[1] Ова е начин на прикажување на бројчени податоци кој опфаќа широк опсег на вредности, особено кога има значителни разлики помеѓу величините на тие броеви.

За разлика од скала каде секоја единица на растојание одговара на истомерен пораст, логаритамската сакала не е рамномерна. Секоја единица е кратно на некоја основа дигната на тој степен и соодветствува на множење на претходната вредност на сакалата со таа основна вредност. Логаритамските скали најчесто се со основа 10, освен ако не е поинаку укажано.

Логаритамската скала е нелинеарна, и затоа последователните бројки на неа (1, 2, 3, 4, 5...) не на подеднакво растојание. Сразмерно распоредените вредности на логаритамската скала имаат експоненти кои нерамномерно растат. Примери за сразмерно распоредени вредности се 10, 100, 1000, 10000 и 100000 (т.е. 10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵) и 2, 4, 8, 16, and 32 (т.е. 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵).

Кривите на експоненцијален раст често се прикажуваат на граф со логаритамски скали.

Примена

Порастот на населението во Англија претставен логаритамски.

Поделоците на логаритмарите се распоредени на логаритамска скала за множење и делење на броеви со додавање или одземање должини на скалите.

Ова се чести примери за примена на логаритамски скали каде поголемата величина дава повисока вредност:

Стопански раст
Рихтеровата скала и скалата на моментна магнитуда за јачина на земјотреси и движењето на Земјата
Јачина на звукот, со единицата децибел
Неперот за замав, поле и величини на моќ
Ниво на честота, со единиците цент, мала секунда, голема секунда и октава за релативната висина на нотите во музиката
Логит за шансите (однос на веројатности) во статистиката
Палермската скала за опасност од удар на небесно тело врз Земјата
Логаритамски времеслед
Броење на f-чекорите за соодноси на фотографско изложување (експозиција)
Правило за деветки при оценување на мала веројатност
Ентропијата во термодинамиката
Информацијата во теоријата на информациите
Криви на распределба на големината на честичките во почвата

Ова се примери на често употребувани логаритамски скали каде поголемата количина дава пониска (или негативна) вредност:

pH за киселост
Скалата на величините за сјајност на ѕвездите
Крамбајновата скала за големина на зрната во геологијата
Оптичка густина на светлината во проѕирни примероци

Некои од нашите сетила работат на логаритамски начин (Вебер-Фехнеров закон), поради што за нив се применуваат логаритамски скали. Како особен пример, слухот восприема еднакви соодноси на честоти како еднакви разлики во висината. Покрај тоа, проучувањата кај малите деца во изолирани племиња покажуваат дека логаритамските скали се најприродниот начин на прикажување на броеви во некои култури.^[2]

Графичко претставување

Горниот лев график е линеарен во оските X и Y, а Y-оската се протега од 0 до 10. Y-оската долу лево има логаритамска скала на основа 10, а Y-оската се протега од 0,1 до 1000.

Горниот десен график има логаритамска скала на основа 10 само за X-оската, а долниот денес график има логаритамска скала на основа 10 за обете оски (X и Y).

Претставувањето на податоците на логаритамска скала е корисно кога податоците:

опфаќаат голем опсег на вредности — употребат ана логаритмите на вредностите наместо самите вредности го прави приказот позгоден;
може да содржат експоненцијални закони или степеновиот закони, бидејќи тие ќе се прикажат како прави линии.

Логаритмарот има логаритамски скали, а номограмите често користат логаритамски скали. Геометриската средина на два броја е точката точно во средината меѓу тие броеви. Пред воведувањето на сметачката графика, широко застапена алатка била милиметарската хартија.

Двојнологаритамски графици

Ако и вертикалната и хоризонталната оска на графикот се на логаритамски скали, тогаш графикот се нарекува a двојнологаритамски график (логаритамско-логаритамски).

Полулогаритамски графици

Ако само апсцисата или ординатата се на логаритамска скала, тогаш графикот се нарекува полулогаритамски график.

Проширувања

Може да се зададе изменета логаритамска трансформација за негативна влезна вредност (y < 0) со цел да се избегне сингуларноста за нулта влезна вредност (y = 0), и со тоа да се добијат симетрички логаритамски графици:^[3]^[4]

Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)

за постојано C=1/ln(10).

Логаритамски единици

Логаритамска единица е единица со која се изразува некоја величина (физичка или математичка) на логаритамска скала, т.е. како сразмерна на вредноста на логаритамска функција применета врз соодносот на величината и појдовна величина од истиот вид. Изборот на единица зависи од видот на величина и основата на логаритамот.

Примери

Примери за логаритамски единици се единиците за информации и информациска ентропија (нат, шенон, бан) и оние за ниво на сигнал (децибел, бел, непер). Нивоата на честота или величини на логаритамска честота имаат различни единици и се користат во електрониката (декада, октава) и за висина во музиката интервали (октава, полутон, цент итн.). Други единици со логаритамска скала се оние на Рихтеровата скала за земјотреси pH-вредноста за киселост или базност.

Покрај тоа, некои индустриски мерки се логаритамски. Вака се изразуваат пречниците на жици и игли.

Единици за информации

Единици за ниво и разлика во нивоа

Единици за ниво на честота

Табела со примери

Единица	Основа на логаритамот	Величина	Толкување
бит	$2$	број на можни пораки	количина на информации
бајт	$28 = 256$	број на можни пораки	количина на информации
децибел	$10 (1/10) \approx 1,259$	секоја величина на моќ (на пр. звучна моќ)	ниво на звучна моќ (на пример)
децибел	$10 (1/20) \approx 1,122$	секоја величина на полето (на пр. звучен притисок)	ниво на звучен притисок (на пример)
полутон	$2 (1/12) \approx 1,059$	честота на звукот	интервал

Двете дефиниции за децибел се еквивалентни бидејќи оодносот на величините на моќ е еднаков на квадратот од соодвениот сооднос на величини на делотворна моќ.^[5]

Поврзано

Логаритмар
Бодеов график
Геометриска средина (аритметичка средина на логаритамска скала)
Џон Непер
Логаритамска величина
Двојнологаритамски график
Полулогаритамски график
Логаритам
Логаритамска средина

Размер

Величински ред

Примени

Наводи

↑ Целакоски, Наум; Целакоска-Јорданова, Весна; Целакоска, Емилија (2021). Математички лексикон (PDF). Скопје: УКИМ. стр. 211.
↑ „Slide Rule Sense: Amazonian Indigenous Culture Demonstrates Universal Mapping Of Number Onto Space“. ScienceDaily. 30 мај 2008. Text "https://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm" ignored (help); Отсутно или празно |url= (help); |access-date= бара |url= (help)
↑ Webber, J Beau W (21 декември 2012). „A bi-symmetric log transformation for wide-range data“ (PDF). Measurement Science and Technology. IOP Publishing. 24 (2). doi:10.1088/0957-0233/24/2/027001. ISSN 0957-0233. S2CID 12007380. Занемарен непознатиот параметар |article-number= (help)
↑ „Symlog Demo“. Matplotlib 3.4.2 documentation. 8 мај 2021. Посетено на 22 јуни 2021.
↑ Ainslie, M. A. (2015). A Century of Sonar: Planetary Oceanography, Underwater Noise Monitoring, and the Terminology of Underwater Sound.

Надворешни врски

Логаритамска скала на Ризницата ^?
„Логаритамски единици“. Gnu.org., Прирачник Emacs Calc (англиски)

[МатЛек-1] Целакоски, Наум; Целакоска-Јорданова, Весна; Целакоска, Емилија (2021). Математички лексикон (PDF). Скопје: УКИМ. стр. 211.

[2] „Slide Rule Sense: Amazonian Indigenous Culture Demonstrates Universal Mapping Of Number Onto Space“. ScienceDaily. 30 мај 2008. Text "https://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm" ignored (help); Отсутно или празно |url= (help); |access-date= бара |url= (help)

[Webber2012-3] Webber, J Beau W (21 декември 2012). „A bi-symmetric log transformation for wide-range data“ (PDF). Measurement Science and Technology. IOP Publishing. 24 (2). doi:10.1088/0957-0233/24/2/027001. ISSN 0957-0233. S2CID 12007380. Занемарен непознатиот параметар |article-number= (help)

[Matplotlib_3.4.2_documentation_2021-4] „Symlog Demo“. Matplotlib 3.4.2 documentation. 8 мај 2021. Посетено на 22 јуни 2021.

[5] Ainslie, M. A. (2015). A Century of Sonar: Planetary Oceanography, Underwater Noise Monitoring, and the Terminology of Underwater Sound.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]