Логаритамска равенка

Логаритамска равенка – равенка каде непознатата големина е содржана во логаритмот или е база на логаритмот.

Подрачје на дефиниција

Логаритамската равенка е дефинирана соодветно на подрачјето во кое е дефинирана и логаритамската функција. Во таа смисла, базата на логаритмот мора да биде позитивен број поголем од нула, што исто така важи и за изразот на кој се однесува логаритмот (во доменот на реалните броеви не е дефиниран логаритам на негативен број).

Едноставна логаритамска равенка

Едноставна логаритамска равенка може да се смета логаритамска равенка каде непознатата големина се појавува во рамките на еден израз на логаритмот или се појавува како база на логаритмот.

Пример 1

Зададена е логаритамската равенка:

$\log {\frac {2x}{x-4}}=1\,$

Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

${\begin{aligned}{\frac {2x}{x-4}}&=10\\2x&=10(x-4)\\2x&=10x-40\\-8x&=-40/:(-8)\\x&=5\end{aligned}}$

Пример 2

Зададена е логаритамската равенка: $\log _{x-2}1000=3\,$ Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

${\begin{aligned}(x-2)^{3}&=1000\\(x-2)^{3}&=10^{3}\\x-2&=10\\x&=12\\\end{aligned}}$

Пример 3

Зададена е логаритамската равенка:

$\log _{5}|2x-3|=3\,$

од каде следи:

$|2x-3|=5^{3}\,$ односно,

$|2x-3|=125.\,$

Решавајќи ја оваа равенка со апсолутни вредности, лесно се наоѓа дека постојат две можни решенија на почетната логаритамска равенка: x₁ = 64 и x₂ -61.

Посложена логаритамска равенка

Посложените логаритамски равенки содржат поголем број членови каде непознатата големина се наоѓа во логаритмот или е база на логаритмот, а каде логаритамската равенка може да се појави во бројни облици и каде секоја равенка во решавањето може да бара посебна постапка за решавање.

Пример 1

Зададена е логаритамската равенка:

$\log ^{2}x-\log x^{2}-8=0\,$

Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

${\begin{aligned}\log ^{2}x-2\log x-8&=0/{\text{супституција:}}\log x=y\\y^{2}-2y-8&=0\end{aligned}}$

Решавајќи ја најдената квадратна равенка по y, се добиваат решенијата на квадратната равенка y₁ = 4 и y₂ = -2. Согласно супституцијата logx=y, следат и решенијата на почетно зададената логаритамска равенка: x₁ = 10.000 и x₂ = 0,01.

Пример 2

Зададена е логаритамската равенка:

$\log _{2}(x^{2}+4)=2+\log _{2}x\,$

Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

${\begin{aligned}2^{(2+\log _{2}x)}&=x^{2}+4\\4\cdot 2^{\log _{2}x}&=x^{2}+4\\4x&=x^{2}+4\\-x^{2}+4x-4&=0/\cdot (-1)\\x^{2}-4x+4&=0\end{aligned}}$

Решавајќи ја најдената квадратна равенка по x се добива решението x₁ = x₂ = 2, што воедно е решение на почетната логаритамска равенка.

Пример 3

Зададена е логаритамската равенка:

$3\log _{2}x-2\log _{x}2=1\,$

Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

${\begin{aligned}3\log _{2}x-2{\frac {\log _{2}2}{\log _{2}x}}&=1\\3\log _{2}x-2{\frac {1}{\log _{2}x}}&=1/\cdot (\log _{2}x)\\3\log _{2}^{2}x-\log _{2}x-2&=0/{\text{супституција:}}\log _{2}x=y\\3y^{2}-y-2&=0\\\end{aligned}}$

Решавајќи ја најдената квадратна равенка по y, се добиваат решенијата y₁ = 1 te y₂ = -2/3. Согласно супституцијата ₂x=y, следат и решенијата на почетно зададената логаритамска равенка: x₁ = 2 te x₂ = 2^(-2/3).

Пример 4

Зададена е логаритамската равенка:

$\log(\log x)+\log(\log x^{3}-2)=0\,$

Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

${\begin{aligned}\log x(\log x^{3}-2)&=1\\\log x(3\log x-2)&=1\\3\log ^{2}x-2\log x-1&=0\end{aligned}}$

Решавајќи ја најдената квадратна равенка по logx, се добиваат решенијата logx₁ = 1 и log x₂ = -1/3. Бидејќи еден од членовите на почетната логаритамска равенка е изразен како log(logx), второто решение очигледно нема смисла според дефиницијата на логаритам. Постои значи, само едно решение каде logx = 1, од каде следи дека x = 10, што е и единствено решение на почетната логаритамска равенка.

Литература

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.

Надворешни врски

(македонски)Логаритамски равенки на мрежното место „е-математика“