Косеканс

Косеканс
y(x)=cosec(x)
Основни особини
Домен	(k,(k+2)π)
Кодомен	(-∞,-1] и [1,∞)
Паритет	непарна
Периода	2π
Одредени вредности
Асимптота	kπ
Други особини
Извод	- cosec²(x)/sec(x)
к е цел број

Косеканс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и спротивната катета во правоаголен триаголник. Косекансот е реципрочна вредност од синус.

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

$\operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\sin x}}$

Врската со секанс е

$\operatorname {cosec} \;x=\operatorname {sec} \,(x-\pi /2)$

Како и останатите тригонометриски функции и косекансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Косеканс е однос на хипотенузата и спротивната катета.

$\operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{a}}$ Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на косекансот е еднаква на големината на следната должина

$\csc \theta ={\overline {OE}}$ Првиот квадрант од единична кружница

Некои карактеристични вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\sec \theta \,$	$\infty \;$	$2\;$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}$	$1\;$

Претставување на функцијата

Функцијата може да се претстави во следниот вид:

$\csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}$

Особини на функцијата

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

• Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви $\mathbb {R}$, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

$-\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

• Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броеви, освен во областа -1 до 1

$-\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty$

• Парност

функција е непарна

$\operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)$

• Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π

$\operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)$

• Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките

$x=\left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

• Нули на функцијата

функцијата нема нули

• Монотоност на функцијата
• Екстреми

нема глобален екстрем

локален минимум

$\operatorname {cosec} ((2n+1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z}$

локален максимум

$\operatorname {cosec} ((2n-1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z}$

• Превојни точки

функцијата нема превојни точки

Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\sin(x)}}={\frac {-\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc(x)\cdot \cot(x)=-{\frac {\csc ^{2}(x)}{\sec(x)}}$

Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е

$\int \csc(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C$

Комплексен аргумент

$\csc(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}$   mit $x,y\in \mathbb {R}$

Надворешни врски

• Eric W. Weisstein: Secant und Cosecant auf MathWorld
• Функцијата косеканс на wolfram.com

Литература

• Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инженеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980

Тригонометриски и хиперболични функции

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)