Клероова равенка

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Клероова равенка – во математиката, поконкретно во математичката анализа е диференцијална равенка во облик:

каде f е континуално диференцијабилна. Таа е специјален случај од Лагранжовата диференцијална равенка.

Оваа равенка го добила името според францускиот математичар Алекси Клеро, кој ја вовел во 1734 година.[1]

Дефиниција[уреди | уреди извор]

За да се реши Клероовата равенка, се диференцира по x:

па

Оттука се добива:

или

Во претходниот случај, C = dy/dx за некоја константа C. Заменувајќи во Клероовата равенка, се добива фамилија на функции дадени со

што е општо решение на Клероовата равенка.

Втората еднаквост,

има само едно решение y(x), кое се нарекува сингуларно решение, чиј графикон е анвелопа на сите графикони на општите решенија. Сингуларното решение обично се запишува во параметарски облик (x(p), y(p)), каде p = dy/dx.

Примери[уреди | уреди извор]

Следниве криви ги претставуваат решенијата на двете Клероови равенки:

Во секој од случаите, општите решенија се означени во црна боја, додека сингуларното решение е дадено во виолетова боја.

Проширување[уреди | уреди извор]

Со проширување, парцијалната диференцијална равенка од прв ред во облик:

е исто така позната како „Клероова равенка“.[2]

Белешки[уреди | уреди извор]

Литература[уреди | уреди извор]

  • Clairaut, Alexis Claude (1734), „Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.“, Histoire de l'Académie royale des sciences: 196–215.
  • Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (германски), 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.