Категорија (математика)

Во математиката, поточно теоријата на категории, една категорија се состои од објекти заедно со морфизми или стрелки меѓу нив, така што секои два морфизми чии целен и почетен објект се совпаѓаат можат да бидат компонирани. Композицијата на морфизми е асоцијативна и секој објект има идентитетски морфизам.

Примери за категории се:

• векторските простори над едно поле заедно со хомоморфизми на векторски простори
• Групите заедно со хомоморфизми на групи
• Тополошките простори заедно со непрекинати функции

Категориите служат како обопштување на случајот каде објектите се посебни структури и морфизмите се функции меѓу нив кои ја запазуваат таа структура, но голем број на примени вклучуваат и категории кои не се од овој вид.

Категориите нудат елегантен јазик за формулиање на голем дел од модерната математика и затао наоѓаат се повеќе и повеќе и примени во разни потгранки.

Дефиниција

Една категорија ${\mathcal {C}}$ се состои од

• колекција на објекти $X,Y,Z,\dots$
• колекција на морфизми $f,g,h,\dots$

така што

• секој морфизам $f$ има домен $X$ и кодомен $Y$; тогаш пишуваме $f:X\to Y$
• за сите морфизми $f:X\to Y,g:Y\to Z$ така што кодоменот на $f$ е еднаков со доменот на $g$ постои компониран морфизам $g\circ f$ чиј домен е доменот на $f$ и чиј кодомен е кодоменот на $g$;
• за секој објект $X$ постои морфизам $1_{X}$, т.н. идентитетски морфизам.

Една категорија ги исполнува следниве аксиоми:

• композицијата на морфизми е асоцијативна, т.е. $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ за сите морфизми $f,g,h$ кои што можат да се компонираат
• за секој морфизам $f:X\to Y$ важи $f\circ 1_{X}=1_{Y}\circ f=f$.

Мала и локално мала категорија

Една категорија се нарекува мала ако сите нејзини морфизми сочинуваат множество. Бидејќи секој објект $X$ дава морфизам $1_{X}$, исто така и објектите во една мала категорија сочинуваат множество.

Една категорија се нарекува локално мала ако морфизмите меѓу секои два објекти сочинуваат множество.

Hom-множество

Во локално мала категорија, за секои два објекти $X,Y$ во ${\mathcal {C}}$, со ${\mathcal {C}}(X,Y)$, $\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ или $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ го означуваме множеството на морфизми меѓу $X$ и $Y$. Ваквите множества се нарекуваат Hom-множества.

Примери

Конкретни категории

$\operatorname {Set}$ е категоријата чии објекти се множествата а чии морфизми се функции (на множества).

Нека $k$ е поле. Со $\operatorname {Vect} _{k}$ ја означуваме категоријата чии објекти се векторските простори над $k$ и чии морфизми се хомоморфизми меѓу векторски простори.

Категоријата $\operatorname {Group}$ ги има групите како објекти и како морфизми хомоморфизмите на групи.

Категоријата $\operatorname {Top}$ ги има како објекти тополошките простори и како морфизми непрекинатите функции.

Апстрактни категории

Нека $(X,\leq )$ е (делумно) подредено множество. Ја дефинираме категоријата ${\mathcal {C}}$ чии објекти се елементите на $X$, а меѓу секои два објекти $x,y$ има точно еден морфизам $x\to y$ ако и само ако $x\leq y$ и нема морфизам $x\to y$ ако и само ако не важи $x\leq y$. Идентитетските морфизми постојат поради рефлексивноста а композицијата е добро дефинирана поради транзитивноста на релацијата $\leq$.

Нека $G$ е група. Тогаш ја дефинираме категоријата $\mathrm {B} G$ која има само еден објект $G$ а чии морфизми $G\to G$ се сите елементи на групата $G$. Композицијата на два морфизми е дадена преку опрецијата во групата $G$. Оваа категорија е пример за групоид.

Конструкции на нови категории

Спротивна категорија

Нека ${\mathcal {C}}$ е категорија. Категоријата ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$, чии објекти се објектите од ${\mathcal {C}}$ така што $\operatorname {Mor} _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}(X,Y):=\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(Y,X)$ (т.е. чии морфизми се морфизмите во спортива насока од ${\mathcal {C}}$) се нарекува спротивната категорија на категоријата ${\mathcal {C}}$.

Контраваријантаните функтори од една категорија ${\mathcal {C}}$ во категорија ${\mathcal {D}}$ се во бијективна кореспонденција со коваријантните функторите ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {D}}$.

Продуктна категорија

Нека ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ се категории. Продуктната категорија ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ е категоријата:

• чии објекти се подредените парови $(X,Y)$ од објекти $X$ од ${\mathcal {C}}$ и $Y$ од ${\mathcal {D}}$;
• чии морфизми се продедените парови $(f,g)$ на морфизми $f$ од ${\mathcal {C}}$ и $g$ од ${\mathcal {D}}$;

Композицијата на морфизми е компонентна, т.е. $(f',g')\circ (f,g):=(f'\circ f,g'\circ g)$ за морфизми $f,f'$ од ${\mathcal {C}}$ и морфизми $g,g'$ од ${\mathcal {D}}$ кои можат да бидат компонирани.

Еден бифунктор од категории ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ во категорија ${\mathcal {E}}$ е функтор ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}$.

Видови морфизми

Еден морфизам $f:X\to Y$ во енда категорија ${\mathcal {C}}$ се нарекува:

• мономорфизам ако за од $f\circ g=f\circ g'$ следи $g=g'$ за сите соодветни морфизми $g,g'$.
• епиморфизам ако за од $g\circ f=g'\circ f$ следи $g=g'$ за сите соодветни морфизми $g,g'$.
• ретракција ако има десен инверзен морфизам, т.е. постои морфизам $g$ така што $f\circ g=1_{Y}$.
• секција ако има лев инверзен морфизам, т.е. постои морфизам $g$ така што $g\circ f=1_{X}$.
• изоморфизам ако има инверзен морфизам, т.е. постои морфизам $g$ така што $f\circ g=1_{Y},g\circ f=1_{X}$.
• ендоморфизам ако $X=Y$.
• автоморфизам ако е ендоморфизам и изоморфизам.

Видови објекти

Иницијален објект

Еден објект $I$ во една категорија ${\mathcal {C}}$ се нарекува иницијален ако за секој објект $X$ постои еден и само еден морфизам $I\to X$.

Терминален објект

Еден објект $T$ во една категорија ${\mathcal {C}}$ се нарекува терминален ако за секој објект $X$ постои еден и само еден морфизам $X\to T$. Еден објект е финален ако и само ако истиот е иницијален во спротивната категорија.

Нулов објект

Еден објект кој што е и иницијален и терминален се нарекува нулов објект. Нуловиот објект во една категорија е единствен до изоморфија со единствен изоморфизам меѓу секои два нулови објекти.

Литература

• Riehl, Emily (2014). Category theory in context (PDF). стр. 3-7.