Историја на геометријата

Геометријата (од старогрчки: γεωμετρία; гео- „земја“, -метрон „мерење“) се појавила како област на знаење што се занимава со просторните односи. Геометријата била една од двете области на предмодерната математика, а другата била проучување на броевите (аритметика).

Класичната геометрија била сосредоточена на конструкции со шестар и линијар. Евклид направил револуција на геометријата, тој ја вовел математичката ригорозност и аксиоматскиот метод што сè уште се користи денес. Неговата книга „Елементи“ се смета за највлијателен учебник на сите времиња и им била позната на сите образовани луѓе на Западот до средината на 20 век.^[1]

Во современата доба, концептите на геометријата се обопштени до високо ниво на апстракција и сложеност и се подложени на методи на анализа и апстрактна алгебра, така што многу современи гранки од геометриската област се едвај препознатливи како потомци на раната геометрија. (Видете Области на математиката и алгебарската геометрија.)

Рана геометрија

Најраните запишани почетоци на геометријата од околу 3000 година пр. н. е., можат да се проследат до раните народи, како што се древната долина Инд (видете Харапанска математика) и древната Вавилонија (видете Вавилонска математика). Раната геометрија била збир на емпириски откриени начела во врска со должините, аглите, плоштините и зафатнините, кои биле развиени за да се задоволат некои практични потреби во геодетските истражувања, градежништвото, астрономијата и разните занаети. Меѓу нив има некои изненадувачки софистицирани начела, а за некои од нив, на современиот математичар можеби ќе му биде тешко да ги изведе без употреба на анализа и алгебра. На пример, и Египќаните и Вавилонците биле свесни за верзиите на Питагоровата теорема околу 1500 години пред Питагора и индиските Сулба Сутри околу 800 година пр. н. е. ги содржеле првите искази на теоремата; Египќаните имале точна формула за зафатнината на пресечена на квадратна пирамида.

Египетска геометрија

Приближното пресметување на плоштината на круг древните Египќани зго правеле на следниов начин:^[2]

Плоштина на кругот ≈ [ (Пречник) × 8/9 ]² .

Овие методи за пресметување на плоштината на круг се користени во проблемот 50 од папирусот на Ахмес, според правилото дека плоштината е еднаква на квадратот од 8/9 од пречникот на кругот. Ова претпоставува дека $π$ е 4 × (8/9)² (или 3,160493...), при што грешката е малку над 0,63 проценти. Вака пресметаната вредност е малку помалку точна од пресметките на Вавилонците (25/8 = 3,125, во рамките на 0,53 проценти), но не била надмината сè до апроксимацијата на Архимед од 211875/67441 = 3,14163, чија грешка била нешто повеќе од 1 на 10.000.

Ахмес го знаел современиот однос 22/7 како апроксимација за $π$ и го користел за да подели хекат, hekat x 22/xx 7/22 = hekat;^{[се бара извор]} меѓутоа, Ахмес продолжил да ја користи традиционалната вредност 256/81 за $π$ за пресметување на неговиот хекат зафатнината за цилиндар.

Во проблемот 48 се користел квадрат со страна од 9 единици, кој бил поделен со мрежа од 3 на 3. Дијагоналите на аголните квадратчиња биле искористени за да се направи неправилен осумаголник со површина од 63 единици. На овој начин била добиена втора вредност за $π$ од 3,111...

Опсегот на вредности за $π$ , го определуваат горенаведените два проблема, и истиот се наоѓа помеѓу 3,11 и 3,16.

Проблемот 14 во Московскиот математички папирус го дава единствениот древен пример за наоѓање на зафатнината на пресечена пирамида, со дадена точна формула:

V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})

каде што a и b се должините на основата и горната страна на пресечената пирамида, а h е нејзината висина.

Вавилонска геометрија

Вавилонците можеби ги знаеле општите правила за мерење на плоштини и зафатнини. Тие го измериле обемот на кругот како три пати поголем од пречникот, а површината како една дванаесеттина од квадратот на обемот, што би било точно ако π се процени како 3. Зафатнината на цилиндарот бил земен како производ од основата и висината, меѓутоа, зафатнината на пресечен конус или пресечена квадратна пирамида погрешно бил земен како производ од висината и половина од збирот на основите. Питагоровата теорема им била позната и на Вавилонците. Исто така, неодамна е откриена плочка на која е употребен бројот π како 3 и 1/8. Вавилонците се познати и по вавилонската милја, што соодветствува на околу седум денешни милји. Ова мерење на растојанијата на крајот било претворено во временска милја што се користела за мерење на патувањето на Сонцето, со што претставувало време. Неодамнешни откритија покажуваат дека древните Вавилонци можеби ја откриле астрономската геометрија речиси 1400 години пред Европејците.^[3]

Ведска индиска геометрија

Индискиот ведски период исто така имал традиција во геометријата. Истата најмногу била изразена во изградбата на сложени олтари. Од овој период се раните индиски текстови (1 милениум пр. н. е.) Шатапатха брамана и Шулба сутри .^[4]^[5]

Шулба сутрите се опишани како „најраниот постоечки вербален израз на Питагоровата теорема во светот, иако веќе им била позната на старите Вавилонци“.^[6] Тие користат Питагорови тројки,^[7] кои се посебни случаи на Диофантови равенки.^[8]

Вавилонската клинеста плочка Плимптон 322 напишана околу 1850 година пр. н. е., според математичарот С.Г. Дани, „содржи петнаесет Питагорини тројки со доста големи записи, вклучувајќи ја (13500, 12709, 18541) која е примитивна тројка, што укажува, особено, дека постоело софистицирано разбирање на темата“ во Месопотамија во 1850 година пр. н. е.^[9] „Бидејќи овие таблички се постари од периодот сулбасутри за неколку векови, земајќи го предвид контекстуалниот изглед на некои од тројките, разумно е да се очекува дека слично разбирање би постоело и во Индија.“^[9] Дани продолжува со зборовите:^[9]

Бидејќи главната цел на сулвасутрите била да се опишат конструкциите на олтарите и геометриските начела вклучени во нив, темата за Питагорините тројки, дури и да била добро разбрана, можеби сè уште не била претставена во шулбасутрите. Појавата на тројките во шулбасутрите е споредлива со математиката што може да се сретне во воведна книга за архитектура или друга слична применета област, и не би одговарала директно на целокупното знаење за темата во тоа време. Бидејќи, за жал, не се пронајдени други современи извори, можеби никогаш нема да биде можно задоволително да се реши ова прашање.

Грчка геометрија

Талес и Питагора

Првиот кому му се припишува дедукцијата во математиката бил Талес (635–543 пр. н. е.) од Милет (сега во југозападна Турција). Иако неговите докази не се зачувани, постојат пет геометриски искази за кои тој напишал дедуктивни докази. Питагора (582–496 пр. н. е.) од Јонија, а подоцна и од Италија, тогаш колонизирана од Грци, можеби бил ученик на Талес и патувал во Вавилон и Египет. Теоремата што го носи неговото име можеби не била негово откритие, но тој веројатно бил еден од првите што дал дедуктивен доказ за неа. Тој собрал група ученици околу себе за да изучуваат математика, музика и филозофија, и заедно откриле поголем дел од она што средношколците го учат денес на нивните часови по геометрија. Покрај тоа, тие го направиле длабокото откритие на несразмерните должини и ирационалните броеви .

Платон

Платон (427–347 пр. н. е.) бил филозоф, кого Грците многу го ценеле. Според една приказна над влезот во неговото познато училиште било врежано: „Нека никој што не знае геометрија не влезе овде“. Сепак, приказната се смета за неточна.^[10] Иако самиот не бил математичар, неговите ставови за математиката имале големо влијание. Така, математичарите го прифатиле неговото верување дека геометријата не треба да користи никакви алатки освен шестар и линијар - никогаш да не се користат мерни инструменти како што се обележан линијар или агломер, бидејќи тоа биле алатки на работник, недостојни за научник. Ова тврдење довело до длабинско проучување на можните конструкции со шестар и линијар, како и до три класични проблеми со конструкцијата:

*како да се користат овие алатки за трисекција на агол,

*да се конструира коцка двојно поголема од зафатнината на дадена коцка и

*да се конструира квадрат со еднаква плоштина на даден круг.

Невозможноста на овие конструкции, конечно била докажана во 19 век, но овие конструкции довеле до важни начела во врска со длабоката структура на системот на реални броеви. Аристотел (384–322 пр. н. е.), најголемиот ученик на Платон, напишал трактат за методите на расудување што се користат во дедуктивните докази (видете Логика), кој не бил значително подобрен сè до 19 век.

Хеленистичка геометрија

Евклид

Евклид (околу 325–265 пр. н. е.), од Александрија, веројатно ученик на Академијата основана од Платон, напишал трактат во 13 книги (поглавја), насловен како „Елементи на геометријата“, во кој ја претставил геометријата во идеален аксиоматска облик, која станала позната како Евклидова геометрија. Трактатот не бил збирка на сè што хеленистичките математичари знаеле во тоа време за геометријата. Самиот Евклид напишал осум понапредни книги за геометријата. Исто така, од други наводи се знае дека Евклидовиот учебник не бил првиот учебник по основна геометрија, но бил толку надмоќен што другите паднале во заборав и биле изгубени. Книгата била донесена на универзитетот во Александрија од страна на Птоломеј I, крал на Египет.

Елементите почнувале со дефиниции на термини, темелни геометриски начела (наречени аксиоми или постулати) и општи квантитативни начела (наречени општи поими) од кои логички можел да се заклучи целиот остаток од геометријата. Во продолжение се наведени неговите пет аксиоми, донекаде парафразирани за да се олесни читањето.

Кои било две точки можат да се поврзат со права линија.
Секоја конечна права линија може да се продолжи во права линија.
Може да се нацрта круг со кој било центар и кој било полупречник.
Сите прави агли се еднакви едни на други.
Ако две прави линии во една рамнина се пресечени со друга права линија (наречена трансверзала), а внатрешните агли помеѓу двете прави и трансверзала што лежат на едната страна од трансверзалата се собираат и се помалку од два прави агли, тогаш на таа страна од трансверзалата, двете продолжени прави ќе се сечат (исто така наречен постулат на паралелност).

Евклид ги изразил геометриски концептите кои денес се разбираат како алгебра. Метод е познат како грчка геометриска алгебра.

Архимед

Архимед (287–212 пр. н. е.), од Сиракуза, Сицилија, кога таа била грчки град-држава, бил еден од најпознатите математичари од хеленистичкиот период. Тој е познат по неговата формулација на хидростатичкиот принцип (познат како Архимедов принцип) и по неговите дела за геометрија, вклучувајќи ги „Мерење на кругот“ и „За коноиди и сфероиди“ . Неговото дело „За лебдечките тела“ е првото познато дело за хидростатиката, чиј основач е Архимед. Ренесансните преводи на неговите дела, вклучувајќи ги и старите коментари, имале огромно влијание врз делата на некои од најдобрите математичари од 17 век, особено Рене Декарт и Пјер де Ферма.^[11]

По Архимед

По Архимед, хеленистичката математика почнала да опаѓа. Имало неколку помали ѕвезди што требало да се појават, но златното доба на геометријата било завршено. Прокл (410–485), автор на „Коментар на Првата книга на Евклид“, бил еден од последните важни играчи во хеленистичката геометрија. Тој бил способен геометар, но што е уште поважно, бил врвен коментатор на делата што му претходеле. Голем дел од тоа дело не преживеало до денешно време и ни е познато само преку неговите коментари. Римската Република и Империја што ги наследиле и ги апсорбирале грчките градови-држави создале одлични инженери, но не и значајни математичари.

Големата Александриска библиотека подоцна била запалена. Меѓу историчарите постои растечки консензус дека Александриската библиотека веројатно претрпела неколку деструктивни настани, но дека уништувањето на паганските храмови во Александрија кон крајот на 4 век било веројатно најтешкото и последно. Доказите за тоа уништување се најдефинитивни и најсигурни. Инвазијата на Цезар можеби довела до губење на околу 40.000–70.000 свитоци во магацин веднаш до пристаништето (како што тврди Лучано Канфора, тие веројатно биле копии произведени од Библиотеката наменети за извоз), но малку е веројатно дека влијаела врз Библиотеката или Музејот, со оглед на тоа што постојат многу докази дека и двата постоеле подоцна.

Граѓанските војни, намалувањето на инвестициите во одржување и набавка на нови свитоци и генерално намалувањето на интересот за нерелигиозни активности веројатно придонеле за намалување на достапниот материјал во Библиотеката, особено во 4 век. Серапеумот сигурно бил уништен од Теофил во 391 година, а Музејот и библиотеката можеби биле жртви на истата кампања.

Наводи

↑ Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders: 1990 (ISBN 0-03-029558-0), p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...."
↑ Ray C. Jurgensen, Alfred J. Donnelly, and Mary P. Dolciani. Editorial Advisors Andrew M. Gleason, Albert E. Meder, Jr. Modern School Mathematics: Geometry (Student's Edition). Houghton Mifflin Company, Boston, 1972, p. 52. ISBN 0-395-13102-2. Teachers Edition ISBN 0-395-13103-0.
↑ „Clay tablets reveal Babylonians discovered astronomical geometry 1,400 years before Europeans - The Washington Post“. The Washington Post.
↑ Staal 1999
↑ Most mathematical problems considered in the Śulba Sūtras spring from "a single theological requirement," that of constructing fire altars which have different shapes but occupy the same area. The altars were required to be constructed of five layers of burnt brick, with the further condition that each layer consist of 200 bricks and that no two adjacent layers have congruent arrangements of bricks. Hayashi 2003
↑ Hayashi 2005.
↑ Knudsen 2018.
↑ Cooke 2005: "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."
1 2 3 Dani 2003.
↑ Cherowitzo, Bill. „What precisely was written over the door of Plato's Academy?“ (PDF). www.math.ucdenver.edu/. Архивирано од изворникот (PDF) на 2013-06-25. Посетено на 8 April 2015.
↑ „Archimedes“. Encyclopedia Britannica.

[1] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders: 1990 (ISBN 0-03-029558-0), p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...."

[School_Mathematics-2] Ray C. Jurgensen, Alfred J. Donnelly, and Mary P. Dolciani. Editorial Advisors Andrew M. Gleason, Albert E. Meder, Jr. Modern School Mathematics: Geometry (Student's Edition). Houghton Mifflin Company, Boston, 1972, p. 52. ISBN 0-395-13102-2. Teachers Edition ISBN 0-395-13103-0.

[3] „Clay tablets reveal Babylonians discovered astronomical geometry 1,400 years before Europeans - The Washington Post“. The Washington Post.

[4] Staal 1999

[5] Most mathematical problems considered in the Śulba Sūtras spring from "a single theological requirement," that of constructing fire altars which have different shapes but occupy the same area. The altars were required to be constructed of five layers of burnt brick, with the further condition that each layer consist of 200 bricks and that no two adjacent layers have congruent arrangements of bricks. Hayashi 2003

[FOOTNOTEHayashi2005-6] Hayashi 2005.

[FOOTNOTEKnudsen2018-7] Knudsen 2018.

[cooke198-8] Cooke 2005: "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."

[FOOTNOTEDani2003-9] 1 2 3 Dani 2003.

[10] Cherowitzo, Bill. „What precisely was written over the door of Plato's Academy?“ (PDF). www.math.ucdenver.edu/. Архивирано од изворникот (PDF) на 2013-06-25. Посетено на 8 April 2015.

[11] „Archimedes“. Encyclopedia Britannica.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]