Функција
Извод
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
−
sin
(
x
)
{\displaystyle -\sin(x)}
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)}
sec
2
(
x
)
{\displaystyle \sec ^{2}(x)}
cot
(
x
)
{\displaystyle \cot(x)}
−
csc
2
(
x
)
{\displaystyle -\csc ^{2}(x)}
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
sec
(
x
)
tan
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)\tan(x)}
csc
(
x
)
{\displaystyle \csc(x)}
−
csc
(
x
)
cot
(
x
)
{\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}
−
1
x
2
+
1
{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Вадење извод на тригонометриски функции — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција , или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(a ) = cos(a ), што значи дека брзината на промена на sin(x ) за одреден агол x = a е дадена со косинус на тој агол.
Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(x ) и cos(x ) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(x ) = sin(x )/cos(x ). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .
Круг, центар O , полупречник 1
Дијаграмот десно покажува кружница со центар O и полупречник r = 1. Нека двата полупречници OA и OB прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога θ се стреми кон нула, може да претпоставиме дека θ е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.
На дијаграмот, нека R 1 е триаголникот OAB , R 2 кружниот исечок OAB , и R 3 триаголникот OAC . Плоштината на триаголникот OAB е:
A
r
e
a
(
R
1
)
=
1
2
|
O
A
|
|
O
B
|
sin
θ
=
1
2
sin
θ
.
{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}
Плоштината на кружниот исечок OAB е
A
r
e
a
(
R
2
)
=
1
2
θ
{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }
OAC е дадена со:
A
r
e
a
(
R
3
)
=
1
2
|
O
A
|
|
A
C
|
=
1
2
tan
θ
.
{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:
Area
(
R
1
)
<
Area
(
R
2
)
<
Area
(
R
3
)
⟹
1
2
sin
θ
<
1
2
θ
<
1
2
tan
θ
.
{\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
Покрај тоа, бидејќи sin θ > 0 во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ sin θ , со што се добива:
1
<
θ
sin
θ
<
1
cos
θ
⟹
1
>
sin
θ
θ
>
cos
θ
.
{\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}
Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.
Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината sin(θ )/θ е секогаш помала од 1 и секогаш поголема од cos(θ). Така, како што θ се приближува до 0, sin(θ )/θ се „стиска“ помеѓу горна граница 1 и долна граница cos θ , која расте кон 1; оттука sin(θ )/ θ мора да се стреми кон 1 како што θ се стреми кон 0 од позитивната страна:
lim
θ
→
0
+
sin
θ
θ
=
1
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}
За случајот кога θ е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :
lim
θ
→
0
−
sin
θ
θ
=
lim
θ
→
0
+
sin
(
−
θ
)
−
θ
=
lim
θ
→
0
+
−
sin
θ
−
θ
=
lim
θ
→
0
+
sin
θ
θ
=
1
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}
Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот θ е неважен.
lim
θ
→
0
cos
θ
−
1
θ
=
lim
θ
→
0
(
cos
θ
−
1
θ
)
(
cos
θ
+
1
cos
θ
+
1
)
=
lim
θ
→
0
cos
2
θ
−
1
θ
(
cos
θ
+
1
)
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
Користејќи cos2 θ – 1 = –sin2 θ , фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:
lim
θ
→
0
cos
θ
−
1
θ
=
lim
θ
→
0
−
sin
2
θ
θ
(
cos
θ
+
1
)
=
(
−
lim
θ
→
0
sin
θ
θ
)
(
lim
θ
→
0
sin
θ
cos
θ
+
1
)
=
(
−
1
)
(
0
2
)
=
0
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:
lim
θ
→
0
tan
θ
θ
=
(
lim
θ
→
0
sin
θ
θ
)
(
lim
θ
→
0
1
cos
θ
)
=
(
1
)
(
1
)
=
1
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес :
d
d
θ
sin
θ
=
lim
δ
→
0
sin
(
θ
+
δ
)
−
sin
θ
δ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}
Користејќи ја формулата за збир на агли sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , имаме:
d
d
θ
sin
θ
=
lim
δ
→
0
sin
θ
cos
δ
+
sin
δ
cos
θ
−
sin
θ
δ
=
lim
δ
→
0
(
sin
δ
δ
cos
θ
+
cos
δ
−
1
δ
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}
Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:
d
d
θ
sin
θ
=
(
1
)
cos
θ
+
(
0
)
sin
θ
=
cos
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:
d
d
θ
cos
θ
=
lim
δ
→
0
cos
(
θ
+
δ
)
−
cos
θ
δ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
Користејќи ја формулата за збир на агли cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β , имаме:
d
d
θ
cos
θ
=
lim
δ
→
0
cos
θ
cos
δ
−
sin
θ
sin
δ
−
cos
θ
δ
=
lim
δ
→
0
(
cos
δ
−
1
δ
cos
θ
−
sin
δ
δ
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:
d
d
θ
cos
θ
=
(
0
)
cos
θ
−
(
1
)
sin
θ
=
−
sin
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}
За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција , прво се земаат следните три факти:
cos
θ
=
sin
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
sin
θ
=
cos
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
d
d
θ
sin
θ
=
cos
θ
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
Првиот и вториот се тригонометриски идентитети , а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:
d
d
θ
cos
θ
=
d
d
θ
sin
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако
f
(
x
)
=
sin
x
,
g
(
θ
)
=
π
2
−
θ
{\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }
d
d
θ
f
(
g
(
θ
)
)
=
f
′
(
g
(
θ
)
)
⋅
g
′
(
θ
)
=
cos
(
π
2
−
θ
)
⋅
(
0
−
1
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }
Значи, докажавме дека
d
d
θ
cos
θ
=
−
sin
θ
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }
За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan θ , ги користиме првите принципи . По дефиниција:
d
d
θ
tan
θ
=
lim
δ
→
0
(
tan
(
θ
+
δ
)
−
tan
θ
δ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , имаме:
d
d
θ
tan
θ
=
lim
δ
→
0
[
tan
θ
+
tan
δ
1
−
tan
θ
tan
δ
−
tan
θ
δ
]
=
lim
δ
→
0
[
tan
θ
+
tan
δ
−
tan
θ
+
tan
2
θ
tan
δ
δ
(
1
−
tan
θ
tan
δ
)
]
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}
Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:
d
d
θ
tan
θ
=
lim
δ
→
0
tan
δ
δ
×
lim
δ
→
0
(
1
+
tan
2
θ
1
−
tan
θ
tan
δ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan δ се стреми кон 0 како што δ се стреми кон 0:
d
d
θ
tan
θ
=
1
×
1
+
tan
2
θ
1
−
0
=
1
+
tan
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}
Веднаш гледаме дека:
d
d
θ
tan
θ
=
1
+
sin
2
θ
cos
2
θ
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
cos
2
θ
=
1
cos
2
θ
=
sec
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .
d
d
θ
tan
θ
=
d
d
θ
sin
θ
cos
θ
=
(
sin
θ
)
′
⋅
cos
θ
−
sin
θ
⋅
(
cos
θ
)
′
cos
2
θ
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
cos
2
θ
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет , и се добива:
1
cos
2
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
Значи,
d
d
θ
tan
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива y еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по dy /dx , изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на y . За да го претвориме dy /dx назад да биде во однос на x , можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи θ да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме dy /dx во однос на x .
Нека
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
Каде
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
Потоа
sin
y
=
x
{\displaystyle \sin y=x\,\!}
Диференцирајќи во однос на
x
{\displaystyle x}
d
d
x
sin
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
cos
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}
Заменувајќи
cos
y
=
1
−
sin
2
y
{\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}
1
−
sin
2
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
Со замена
x
=
sin
y
{\displaystyle x=\sin y}
1
−
x
2
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
d
y
d
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Нека
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x\,\!}
Каде
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
Потоа
cos
y
=
x
{\displaystyle \cos y=x\,\!}
Диференцирајќи во однос на
x
{\displaystyle x}
d
d
x
cos
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
−
sin
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}
Со замена
sin
y
=
1
−
cos
2
y
{\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}
−
1
−
cos
2
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
Со замена
x
=
cos
y
{\displaystyle x=\cos y\,\!}
−
1
−
x
2
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
d
y
d
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Алтернативно, еднаш добиен изводот на
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
/
2
{\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}
(
arccos
x
)
′
=
−
(
arcsin
x
)
′
{\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}
Нека
y
=
arctan
x
{\displaystyle y=\arctan x\,\!}
Каде
−
π
2
<
y
<
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
Потоа
tan
y
=
x
{\displaystyle \tan y=x\,\!}
Диференцирајќи во однос на
x
{\displaystyle x}
d
d
x
tan
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
Левата страна:
d
d
x
tan
y
=
sec
2
y
⋅
d
y
d
x
=
(
1
+
tan
2
y
)
d
y
d
x
{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}
Десната страна:
d
d
x
x
=
1
{\displaystyle {d \over dx}x=1}
Следува,
(
1
+
tan
2
y
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}
Со замена
x
=
tan
y
{\displaystyle x=\tan y\,\!}
(
1
+
x
2
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}
d
y
d
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Нека
y
=
arccot
x
{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}
каде
0
<
y
<
π
{\displaystyle 0<y<\pi }
cot
y
=
x
{\displaystyle \cot y=x}
Диференцирајќи во однос на
x
{\displaystyle x}
d
d
x
cot
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}
Левата страна:
d
d
x
cot
y
=
−
csc
2
y
⋅
d
y
d
x
=
−
(
1
+
cot
2
y
)
d
y
d
x
{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}
Десната страна:
d
d
x
x
=
1
{\displaystyle {d \over dx}x=1}
Следува,
−
(
1
+
cot
2
y
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}
Со замена
x
=
cot
y
{\displaystyle x=\cot y}
−
(
1
+
x
2
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}
d
y
d
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
Нека
y
=
arcsec
x
|
x
|
≥
1
{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}
Потоа
x
=
sec
y
y
∈
[
0
,
π
2
)
∪
(
π
2
,
π
]
{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
d
x
d
y
=
sec
y
tan
y
=
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}
d
y
d
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција .
Нека
y
=
arcsec
x
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
Каде
|
x
|
≥
1
{\displaystyle |x|\geq 1}
y
∈
[
0
,
π
2
)
∪
(
π
2
,
π
]
{\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
d
y
d
x
=
−
1
1
−
(
1
x
)
2
⋅
(
−
1
x
2
)
=
1
x
2
1
−
1
x
2
=
1
x
2
x
2
−
1
x
2
=
1
x
2
x
2
−
1
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Нека
y
=
arccsc
x
|
x
|
≥
1
{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}
Потоа
x
=
csc
y
y
∈
[
−
π
2
,
0
)
∪
(
0
,
π
2
]
{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
d
x
d
y
=
−
csc
y
cot
y
=
−
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}
d
y
d
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција .
Нека
y
=
arccsc
x
=
arcsin
(
1
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
Каде
|
x
|
≥
1
{\displaystyle |x|\geq 1}
y
∈
[
−
π
2
,
0
)
∪
(
0
,
π
2
]
{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на
arcsin
(
1
x
)
{\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
d
y
d
x
=
1
1
−
(
1
x
)
2
⋅
(
−
1
x
2
)
=
−
1
x
2
1
−
1
x
2
=
−
1
x
2
x
2
−
1
x
2
=
−
1
x
2
x
2
−
1
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Handbook of Mathematical Functions , Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d296903d5dd1325c753b9fd893df4f3bbc34aaf1)
![{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b42f4fa17d2b4c21b0ae845801138a0b3f120c)
![{\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf2556cec37bbe40f88711c88fe51fe767cb390)
![{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cda0610f5b82dac4c3e241ea5f6f64e1d8f690)
![{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867819ffe66500464361cfb300742fe12940cd6c)
