Изводи на тригонометриски функции

Функција	Извод
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Вадење извод на тригонометриски функции — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција, или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(a) = cos(a), што значи дека брзината на промена на sin(x) за одреден агол x = a е дадена со косинус на тој агол.

Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(x) и cos(x) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(x) = sin(x)/cos(x). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .

Докази за изводи на тригонометриски функции

Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0

Круг, центар O, полупречник 1

Дијаграмот десно покажува кружница со центар O и полупречник r = 1. Нека двата полупречници OA и OB прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога θ се стреми кон нула, може да претпоставиме дека θ е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.

На дијаграмот, нека R₁ е триаголникот OAB, R₂ кружниот исечок OAB, и R₃ триаголникот OAC . Плоштината на триаголникот OAB е:

$\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.$

Плоштината на кружниот исечок OAB е $\mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta$, додека плоштината на триаголникот OAC е дадена со:

$\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Покрај тоа, бидејќи sin θ > 0 во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ sin θ, со што се добива:

$1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.

Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината sin(θ)/θ е секогаш помала од 1 и секогаш поголема од cos(θ). Така, како што θ се приближува до 0, sin(θ)/θ се „стиска“ помеѓу горна граница 1 и долна граница cos θ, која расте кон 1; оттука sin(θ)/ θ мора да се стреми кон 1 како што θ се стреми кон 0 од позитивната страна:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

За случајот кога θ е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :

$\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.$

Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0

Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот θ е неважен.

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.$

Користејќи cos²θ – 1 = –sin²θ, фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.$

Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0

Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.$

Извод на синусна функција

Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.$

Користејќи ја формулата за збир на агли sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, имаме:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).$

Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.$

Извод на косинусна функција

Од дефиницијата за извод

Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.$

Користејќи ја формулата за збир на агли cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, имаме:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).$

Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.$

Од правилото за извод на сложена функција

За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:

$\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

$\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta$

Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$, имаме:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta$ .

Значи, докажавме дека

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta$ .

Извод од функцијата тангенс

Од дефиницијата за извод

За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan θ, ги користиме првите принципи . По дефиниција:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).$

Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), имаме:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].$

Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).$

Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan δ се стреми кон 0 како што δ се стреми кон 0:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .$

Веднаш гледаме дека:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.$

Од правилото за количник

Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}$

Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:

${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta$

Значи,

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции

Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива y еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по dy/dx, изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на y. За да го претвориме dy/dx назад да биде во однос на x, можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи θ да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме dy/dx во однос на x.

Диференцирање на инверзна синусна функција

Нека

$y=\arcsin x\,\!$

Каде

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

Потоа

$\sin y=x\,\!$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и решавање по dy/dx:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

$\cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!$

Заменувајќи $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ во погорниот израз, добиваме:

${\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Со замена $x=\sin y$ ,

${\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Диференцирање на инверзна косинусна функција

Нека

$y=\arccos x\,\!$

Каде

$0\leq y\leq \pi$

Потоа

$\cos y=x\,\!$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и решавање по dy/dx:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-\sin y\cdot {dy \over dx}=1$

Со замена $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ , добиваме

$-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Со замена $x=\cos y\,\!$, добиваме

$-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Алтернативно, еднаш добиен изводот на $\arcsin x$, изводот на $\arccos x$ веднаш следи со диференцирање на идентитетот $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ така што $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$ .

Диференцирање на инверзна тангенсна функција

Нека

$y=\arctan x\,\!$

Каде

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

Потоа

$\tan y=x\,\!$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и со решавање по dy/dx:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

Левата страна:

${d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}$ користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:

${d \over dx}x=1$

Следува,

$(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1$

Со замена $x=\tan y\,\!$, добиваме

$(1+x^{2}){dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Диференцирање на инверзна котангенсна функција

Нека

$y=\operatorname {arccot} x$

каде $0<y<\pi$ . Потоа

$\cot y=x$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и решавање по dy/dx:

${\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x$

Левата страна:

${d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}$ користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:

${d \over dx}x=1$

Следува,

$-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1$

Со замена $x=\cot y$ ,

$-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Диференцирање на инверзна секансна функција

Со користење на имплицитно диференцирање

Нека

$y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1$

Потоа

$x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

${\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот ${\sqrt {x^{2}-1}}$ е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Со користење на правилото на извод на сложена функција

Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.

Нека

$y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

Каде

$|x|\geq 1$ и $y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$ :

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Диференцирање на инверзна косекансна функција

Со користење на имплицитно диференцирање

Нека

$y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1$

Потоа

$x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

${\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот ${\sqrt {x^{2}-1}}$ е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Со користење на правилото за извод на сложена функција

Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.

Нека

$y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Каде

$|x|\geq 1$ и $y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Поврзано

• Калкулус
• Извод
• Список на интеграли од инверзни тригонометриски функции
• Список на тригонометриски идентитети
• Таблица на изводи
• Тригонометрија

Библиографија

• Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)