Функција
|
Извод
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вадење извод на тригонометриски функции — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција, или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(a) = cos(a), што значи дека брзината на промена на sin(x) за одреден агол x = a е дадена со косинус на тој агол.
Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(x) и cos(x) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(x) = sin(x)/cos(x). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .
Докази за изводи на тригонометриски функции[уреди | уреди извор]
Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0[уреди | уреди извор]
Круг, центар O, полупречник 1
Дијаграмот десно покажува кружница со центар O и полупречник r = 1. Нека двата полупречници OA и OB прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога θ се стреми кон нула, може да претпоставиме дека θ е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.
На дијаграмот, нека R1 е триаголникот OAB, R2 кружниот исечок OAB, и R3 триаголникот OAC . Плоштината на триаголникот OAB е:

Плоштината на кружниот исечок OAB е
, додека плоштината на триаголникот OAC е дадена со:

Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:

Покрај тоа, бидејќи sin θ > 0 во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ sin θ, со што се добива:

Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.
Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината sin(θ)/θ е секогаш помала од 1 и секогаш поголема од cos(θ). Така, како што θ се приближува до 0, sin(θ)/θ се „стиска“ помеѓу горна граница 1 и долна граница cos θ, која расте кон 1; оттука sin(θ)/ θ мора да се стреми кон 1 како што θ се стреми кон 0 од позитивната страна:

За случајот кога θ е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :

Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0[уреди | уреди извор]
Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот θ е неважен.

Користејќи cos2θ – 1 = –sin2θ, фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:

Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0[уреди | уреди извор]
Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:

Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:

Користејќи ја формулата за збир на агли sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, имаме:

Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:

Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:

Користејќи ја формулата за збир на агли cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, имаме:

Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:

Од правилото за извод на сложена функција[уреди | уреди извор]
За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:



Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:

Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако
, имаме:
.
Значи, докажавме дека
.
За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan θ, ги користиме првите принципи . По дефиниција:

Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), имаме:
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d296903d5dd1325c753b9fd893df4f3bbc34aaf1)
Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:

Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan δ се стреми кон 0 како што δ се стреми кон 0:

Веднаш гледаме дека:

Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .

Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:

Значи,

Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции[уреди | уреди извор]
Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива y еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по dy/dx, изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на y. За да го претвориме dy/dx назад да биде во однос на x, можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи θ да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме dy/dx во однос на x.
Диференцирање на инверзна синусна функција[уреди | уреди извор]
Нека

Каде

Потоа

Диференцирајќи во однос на
на двете страни и решавање по dy/dx:


Заменувајќи
во погорниот израз, добиваме:

Со замена
,


Диференцирање на инверзна косинусна функција[уреди | уреди извор]
Нека

Каде

Потоа

Диференцирајќи во однос на
на двете страни и решавање по dy/dx:


Со замена
, добиваме

Со замена
, добиваме


Алтернативно, еднаш добиен изводот на
, изводот на
веднаш следи со диференцирање на идентитетот
така што
.
Диференцирање на инверзна тангенсна функција[уреди | уреди извор]
Нека

Каде

Потоа

Диференцирајќи во однос на
на двете страни и со решавање по dy/dx:

Левата страна:
користејќи го Питагоровиот идентитет
Десната страна:

Следува,

Со замена
, добиваме


Диференцирање на инверзна котангенсна функција[уреди | уреди извор]
Нека

каде
. Потоа

Диференцирајќи во однос на
на двете страни и решавање по dy/dx:

Левата страна:
користејќи го Питагоровиот идентитет
Десната страна:

Следува,

Со замена
,


Диференцирање на инверзна секансна функција[уреди | уреди извор]
Со користење на имплицитно диференцирање[уреди | уреди извор]
Нека

Потоа
![{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b42f4fa17d2b4c21b0ae845801138a0b3f120c)

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот
е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

Со користење на правилото на извод на сложена функција[уреди | уреди извор]
Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.
Нека

Каде
и ![{\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf2556cec37bbe40f88711c88fe51fe767cb390)
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на
:

Диференцирање на инверзна косекансна функција[уреди | уреди извор]
Со користење на имплицитно диференцирање[уреди | уреди извор]
Нека

Потоа
![{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cda0610f5b82dac4c3e241ea5f6f64e1d8f690)

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот
е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

Со користење на правилото за извод на сложена функција[уреди | уреди извор]
Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.
Нека

Каде
и ![{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867819ffe66500464361cfb300742fe12940cd6c)
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на
:

- Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)