Завојница

Навојни пружини: затезна, збиена и усукана.

Завртка

Десна завојница (cos t, sin t, t) за 0 ≤ t ≤ 4π со стрелки за правецот на растечкиот t

Завојница (завојна линија или винтова линија) — просторна завиена крива со тангенти под неменлив агол кон неподвижна оска. Овие криви се важни во биологијата бидејќи ДНК-молекулата се образува со две испреплетени завојници. Многу белковини имаат завојни потструктри наречени алфа-завојници.

Својства и видови

Наклонот на една завојница е висината на едно целосно свртување, измерена паралелно на оската на завојницата.

Двојна завојница се состои од две (обично складни) завојници со иста оска, кои се разликуваат по транслацијата долж оската.

Кружна завојница (т.е. со постојан полупречник) има постојана закривеност на појасот и постојана усуканост. Наклонот на кружна завојница се дефинира како соодносот на обиколката на кружниот цилиндар околу кој таа се свива, и нејзиниот наклон (висината на еднно целосно свртување на завојницата).

Конусна завојница, наречена и конусна спирала, се дефинира како спирала на конусна површина, каде растојанието од темето е експоненцијална функција на аголот кој ја покажува насоката од оската.

Кривата се нарекува општа завојница или цилинидрична завојница ако нејзината тангента сочинува постојан агол со неменлива права во просторот. Една крива е општа завојница ако и само ако соодносот меѓу закривеноста и усуканост е постојан.

Кривата се нарекува накосена завојница ако нејзината главна нормала сочинува постојан агол со неподвижна права во просторот. It can be constructed by applying a transformation to the moving frame of a general helix.

Поопшти завојни просторни криви се просторните спирали, како на пример сферната.

Хиралност

Завојниците можат да бидат десни или леви. Кога гледаме долж оската на завојницата, ако надесното завртување ја оддалечува завојницата од набљудувачот, тогаш велиме дека таа е десна завојница; ако оди кон набљудувачот, завојницата ќе биде лева. Хиралноста е својство на завојницата, а не на перспективата: десната завојница не може да се сврти за да изгледа како лева освен ако не гледаме во огледало.

Математички опис

Завојница сочинета од синусоидни составници x и y.

Во математиката, завојницата е крива во тридимензионален простор. Следнава параметризација во Декартови координати дефинира дадена завојница; можеби најпростата равенка е

${\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}$

Како што се зголемува параметарот t, точката $(x(t),y(t),z(t))$ исцртува десна завојница со наклон 2π (или накосеност 1) и прелупречник 1 околу z-оската, во десен координатен систем.

Во цилиндрични координати (r, θ, h), истата завојница се параметризира со:

${\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}$

Кружна завојница со полупречник a и накосеност ab (или наклон 2πb) се опишува со следнава параметризација:

${\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t),\\y(t)&=a\sin(t),\\z(t)&=bt.\end{aligned}}$

Друг начин на математичко конструирање на завојница е со график на функцијата на комплексни вредности e^xi како функција на реалниот број x (погл. Ојлерова формула). Вредноста на x и реалниот и имагинарниот дел на функциските вредности му дава на овој график три вистински димензии.

Освен за вртења, транслации и промени во размерот, сите десни завојници се еквивалентни на погоре дефинираната завојница. Еквивалентната лева завојниац може да се конструира на разни начини, од кои најпрост е со ставање на минус пред една од составниците x, y или z.

Должина на лак, закривеност и усуканост

Кружна завојница со полупречник $a>0$ и накосеност ab (или наклон 2πb) изразена во Декартови координати како параметарската равенка

$t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]$

има должина на лак

$A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

закривеност

${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},$

и усуканост

${\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.$

Должината на лакот по свртување ($T=2\pi$): $A={\sqrt {(2\pi a)^{2}+(2\pi b)^{2}}}$ или $A={\sqrt {(2\pi a)^{2}+p^{2}}}$ каде $p=$наклон.

Усукана должина по единица права должина (осна должина): $A={\frac {\sqrt {(2\pi a)^{2}+p^{2}}}{p}}$

Завојницата има постојана ненуларна закривеност и усуканост.

Завојницата е векторсковредносна функција

$${\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}$$

Така, завојницата може да се параметризира како функција на s, која мора да биде единична брзина:

$$\mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$$

Единичниот тангентен вектор е

$${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$$

Нормалниот вектор е

$${\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$$

Закривеноста е

$$\kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}$$.

Единичниот нормален вектор е

$$\mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$$

Бинормалниот вектор е

$${\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}$$

Усуканоста е $$\tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.$$

Примери

Пример за двојна завојница во молекуларната биологија е двојната завојница на нуклеинската киселина.

Некои криви во природата се состојат од повеќе завојници со различна хиралност сврзани со транслации, што се нарекува изопачување на витиците.

Највеќето навои во металната галантерија се десни завојници. Алфа-завојницата во биологијата, како и А и Б што ја образуваат ДНК исто така се десни завојници. Обликот З на ДНК е лев.

Во музиката, висинскиот простор се моделира со завојници или двојни завојници, најчесто со проширување од круг како квинтниот круг за да ја претстават октавната еквивалентност.

Во воздухопловството, геометриски наклон е растојанието кое еден елемент на пропелерот ќе го помине за едно свртување ако се движи по завојница со агол еднаков на оној помеѓу тетивата на елементот и рамнина нормална на пропелерската оска.

• 
  Кристална структура на набрана молекулска навојница
• 
  Природна лева завојница на ползавец
• 
  Завојна пружина
• 
  Двојна ДНК-завојница

Поврзано

• Алфа-завојница
• Двојна завојница
• Хеликоид
• Кружна поларизација
• Колагенска завојница
• Соленоид

Надворешни врски

• Завојница на Ризницата ^?
• „Завојница“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)