Елементарна алгебра

Дводимензионален график (црвена крива) на алгебарска равенка $y=x^{2}-x-2$

Елементарната алгебра е релативно основна форма на алгебрата која предава на учениците за кои се претпоставува дека имаат мало или никакво формално познавање на математиката надвор од самата аритметика. Обично се предава во средно училиште под поимот алгебра. Главната разлика помеѓу алгебрата и аритметиката е вклучувањето на променливи. Во аритметиката се вклучуваат само броеви и нивните аритметички операции (како +, −, ×, ÷) додека во алгебрата се користат и симболи како x и y, или a и b за означување на променливите..

Одлики на алгебрата

Променливи

Целта на користење на променливи, симболи кои означуваат броеви е да се овозможи изработка на генерализации во математиката. Ова е корисно поради:

• Таа им овозможува на аритметичките равенки (и нееднаквости) бидат наведени како закони (како a + b = b + a за сите a и b), тој начин е првиот чекор на систематско проучување на особините на реален броен систем.
• Таа им овозможува повикување на броеви кои не се познати. Во контекст на проблемот, променливата може да претставува одредена вредност која сè уште не е позната, но може да се најде преку формулирање и манипулација на равенки.
• Таа овозможува истражување на математички односи меѓу количини (како на пример "ако продавате x билети, тогаш вашиот профит ќе биде 3x − 10 dollars").

Изрази

Во елементарната алгебра, израз може да содржи броеви, променливи и аритметички операции. Овие се конвенционално напишани со термините 'посилни' на левата страна (види полином); неколку примери се:

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,$

Во понапредната алгебра, израз исто така може да вклучува елементарни функции.

Операции

Својства на операции

Операција	Се пишува	комутативно	асоцијативно	идентичен елемент	инверзна операција
Собирање	a + b	a + b = b + a	(a + b) + c = a + (b + c)	0, која ги зачувува броевите: a + 0 = a	Одземање ( - )
Множење	a × b или a • b	a × b = b × a	(a × b) × c = a × (b × c)	1, кој ги зачувува броевите: a × 1 = a	Дивизија ( / )
Степенување	ab	Не комутативен	Не асоцијативен	1, кој ги зачувува броевите: a1 = a	Логаритам (Log)

• Операција на собирање...
  • Значи повторено собирање на: n = 1 + 1 +...+ 1 (n број пати);
  • Има инверзна операција наречена одземање: (a + b) − b = a, кој е ист како додавање на негативен број, a − b = a + (−b);
• Операција на множење...
  • Значи повторено собирање: a × n = a + a +...+ a (n број пати);
  • Има инверзна операција наречена поделба која е дефинирана за не-нута броеви: (ab)/b = a, кој е ист како множење со реципрочна (mathematics)|reciprocal]], a/b = a(1/b);
  • дистрибуира преку собирање: (a + b)c = ac + bc;
  • Е кратенка од спротивставување: a × b ≡ ab;
• Операција на степенување...
  • Значи повторено множење: aⁿ = a × a ×...× a (n број пати);
  • Има инверзна операција наречена логаритам: a^log_ab = b = log_aa^b;
  • Дистрибуира преку множење: (ab)^c = a^cb^c;
  • Може да бидат напишани во однос n-ти корен: a^m/n ≡ (ⁿ√a)^m и на тој начин дури и корени од негативни броеви не постојат во системот на реални броеви. (Види: систем на копмлексни броеви)
  • Има својство: a^ba^c = a^{b + c};
  • Има својство: (a^b)^c = a^bc.
  • Во целина: a^b ≠ b^a and (a^b)^c ≠ a^(bc);

Ред на операции

Главна статија: Ред на операции

Во математиката е важно дека вредноста на изразување е секогаш пресметана на ист начин. Затоа е неопходно да се пресметаат деловите на изразување во посебен ред познат како ред на операции. Стадардниот редослед на операции се изразува во следнава шема.

Шематските загради и останатите групни симболи вклучувајќи загради, апсолутна вредност симболи, и дел од барот

Експоненти и корени

Множење и делење

Собирање и одземање

Заедничката ретроспектива како уред за помнење на овој ред е PEMDAS. Општо земено во елементарната алгебра, употребата на загради (често се нарекува загради) ) и нивните едноставни апликации ќе се предаваат во повеќето. училишта во светот.

Равенки

Главна статија: Равенки

Равенката претставува тврдење дека два изрази имаат иста вредност и се еднакви. Некои равенки важат за сите вредности на променливите (како a + b = b + a); како равенки се нарекуваат идентитети. Условните равенки се вистинити само за некои вредности на променливи кои се вклучени: x² − 1 = 4. Вредностите на променливите кои ја прават равенката точна се решенија на равенката и можат да се најдат преку [[решавање на равенката

==== Својства на еднаквост

• Односот на еднаквост (=) е...
  • [[рефлексивна релација|рефлексивен= b;
  • [[симетрична релација|симетричен= = b тогаш = a;
  • [[преодна релација|преоден= = b и b = c тогаш = c.
• Односот на еднаквост (=) има својство
  • Ако = b и c = d тогаш' + c = b + d и ac = bd;
  • Дека ако a = b тогаш + c = b + c;
  • Дека ако два симболи се еднакви, тогаш можат да се заменат со други.

Својства на нееднаквост

• Односот на нееднаквост (<) има својство
  • На транзиција: ако a < b и b < c тогаш a < c;
  • Дека ако a < b и c < d тогаш a + c < b + d;
  • Дека ако a < b и c > 0 тогаш ac < bc;
  • Дека ако a < b и c < 0 тогаш bc < ac.

Други видови на системи од линеарни равенки

Нерешливи системи

Во примерот погоре , можно е да се најде решение. Сепак, постојат и системите од равенки кои немаат решение. Очигледен пример би бил:

${\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,$

Втората равенка во системот нема можно решение. Затоа, овој систем не може да се реши. Сепак, сите некомпатибилни системи не се препознаваат на прв поглед. Како пример, следниот систем:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-4\end{cases}}\,$

Кога се обидува да се реши овој (на пример, со користење на методот на замена погоре), втората равенка, по додавањето 2x од двете страни и множење со −1, резултира во:

$y=-2x+4\,$

И користење на оваа вредност за y во првата равенка:

$4x+2(-2x+4)=12\,$

$4x-4x+8=12\,$

$8=12\,$

Не променливи се лево, и на еднаквост не е точно. Ова значи дека првата равенка не може да обезбеди решение за вредноста на y добиени во втората равенка.

Неопределени системи

Исто така постојат и системи кои имаат повеќе или Инфинит солушнс, во опозиција на систем со единствено решение (што значи, двете единствени вредности за x and y) На пример:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,$

Изолирање на y во втората равенка:

$y=-2x+6\,$

И користење на оваа вредност во првата равенка во системот:

$4x+2(-2x+6)=12\,$

$4x-4x+12=12\,$

$12=12\,$