Едностран тест

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Алтернативната хипотеза каде што отстапувањата на Мx од Мо ги следиме во една насока, ја нарекуваме еднонасочна хипотеза, а тестовите со кои го испитуваме прифаќањето на нултата хипотеза ги нарекуваме еднонасочни или еднострани тестови.Еднонасочниот тест се користи при тестирање на статистичките хипотези и ни помага да определиме дали ќе ја прифатиме или отфрлиме нултата хипотеза.[1]

Дефинирање на едностран тест[уреди | уреди извор]

Едностран тест на хипотеза е оној каде што алтернативната хипотеза е со насока и ги вклучува симболите < и >.[2] Еднострана алтернативна хипотеза е алтернативна хипотеза која ги опфаќа сите можни вредности на параметарот на популацијата или на едната или на другата страна (поголема или помала) од вредноста определена со нултата хипотеза.[3]Алтернативната хипотеза е еднострана ако параметарот е поголем или помал од вредноста на нултата хипотеза.Тестот е двонасочен кога параметарот има различна вредност од вредноста на нултата хипотеза.Нултата хипотеза е обично тестирана против алтернативната хипотеза.

Нулта и алтернативна хипотеза[уреди | уреди извор]

Нултата хипотеза претставува тврдење за вредноста на параметарот на основната масаx), кој со постапката на тестирање настојуваме да го оспориме.Нултата хипотеза може да биде проста и сложена.Кај еднонасочниот тест постои сложена нулта хипотеза бидејќи се опфатени поголем број можни вредности. Алтернативната хипотеза најчесто ги содржи сите вредности кои може да ги има параметарот Мx, а кои што не се опфатени со нултата хипотеза.Алтернативната хипотеза по правило е дадена во облик на сложена хипотеза.

Eдностран и двостран тест(областа на отфрлање на нултата хипотеза е прикажана со црвена боја)


При тоа само една може да биде вистинита, односно едната хипотеза ја прифаќаме,а другата ја отфрламе.Исто така нултата и алтернативната хипотеза се сеопфатни односно заедно ги опфаќаат сите можни вредности на параметарот на основната маса.За одлуките за Ho во формалните сумирања на резултатите од тестовите, ги користиме изразите се отфрла и не се отфрла.Нултата хипотеза има статус на главна хипотеза - таква која се смета за точна, освен ако податоците не содржат силен доказ за отфрлање на истата.Со одредување на нивото на значајност на ниско ниво, имаме мала веројатност за отфрлање на точната Ho.Кога ја отфрламе, веројатноста на грешка е на ниво на значајност α.Но, ако има мал примерок, ќе ја отфрлиме Ho само ако е неконтролирано погрешна.Со зголемување на големината на примерокот веројатноста на отфрлање на погрешната Ho се зголемува.Кога ќе ја отфрлиме нултата хипотеза, имаме силен доказ дека Ho не е точна и поради тоа H1 се смета за точна.Ако бараме силен доказ во корист на одреден исход, го дефинираме тој исход како H1, а другиот исход како Ho.Ова се нарекува аргумент на спротивни факти.Кога ја отфрламе Ho, постои силен доказ во корист на H1, и сигурни сме дека нашата одлука е точна.

Со помош на тестирањето на статистичките хипотези, информациите од примерокот ги користиме за испитување на прифатливоста на некои тврдења или претпоставки кои се однесуваат на карактеристиките на основната маса .Најчесто се набљудува вредноста на некој параметар на масата, обликот на распоредот на основната маса и слично.Кога истражувачот сака да тестира нова претпоставка, нова теорија, тој прво формулира хипотеза или тврдење за кое што претпоставува дека е точно.Нашата одлука за избирање на едната или другата хипотеза (алтернативната или нултата хипотеза) произлегува од строга постапка.Процесот на одлучување користи статистика на одлучување пресметана од случаен примерок, како што е средината на примерокот , варијансата на примерокот S2 или пропорцијата на примерокот.Статистиката на која ја базираме нашата одлука дали ќе ја прифатиме или ќе ја отфлиме нултата хипотеза се нарекува тест статистика.

За разлика од двонасочниот или билатералниот кај еднонасочниот или унилатералниот тест се проверува хипотезата дека вредноста на параметарот е поголема или еднаква, односно помала или еднаква на хипотетичната вредност на параметарот на основната маса.Кај овие тестови областа на прифаќање на хипотезата е ограничена само на едната страна.Оттаму со примена на хипотезата од овој облик се определува и насоката на отстапување на стварната од хипотетичната вреднот на параметарот на множеството популација. Откако веќе прецизно сме ги дефинирале нултата и алтернативната хипотеза во понатамошната постапка на тестирањето вршиме избор на т.н.статистика на тестот т.е специфичниот критериум на тестирањето,од чија што реализирана вредност зависи одлуката за прифаќање или отфрлање на хипотезата. Обликот на статистика на тестот е детерминиран со видот на проблемот што го разгледува. Во овој контекст предметот на нашето разгледување е тестот кој е заснован на критериумот на тестирањето, дефинирањето во следниот облик:


Овој облик на тестирање се заснова врз аритметичката средина на примерокот,, како непристрасна оцена на тестираниот параметар Мx, на Мo како хипотетична вредност на параметарот на основната маса и σ, стандардизираната грешка на оценката (пресметување врз основа на примерок).[4]


Десностран еднонасочен тест[уреди | уреди извор]

1. Ho : Mx ≤ Mo H1 : Mx > Mo

  • Нултата хипотеза гласи дека параметарот Mx е помал или еднаков на параметарот Mo .
  • Алтернативната хипотеза гласи дека параметарот Mx е поголем од параметарот Mo
  • Ги опфаќа отстапувањата на десната страна.
  • Пример: H1 : Mx > 16

Средната тежина на пакувањето на житарици на популацијата паѓа во интервалот на вредности поголеми од 16 унци.


Левостан еднонасочен тест[уреди | уреди извор]

2. Ho : Mx ≥ Mo H1 : Mx < Mo

Средната тежина на пакувањето на житарици на популацијата паѓа во интервалот на вредности помали од 16 унци.


Област на прифаќање и на отфрлање кај еднонасочниот тест[уреди | уреди извор]

Нултата и алтернативната хипотеза се меѓусебно исклучувачки тврдења што значи дека само една може да биде вистинита.Низата вредности на параметарот на примерокот чија веројатност е помала или еднаква од нивото на значајност (α) ја сочинува т.н критична област или област на отфрлање на Ho.Останатиот дел на распоредот ја претставува областа на прифаќање на Ho.Положбата на областа на отфрлање е детерминирана со карактерот на H1.Ако со алтернативната хипотеза се определува насоката на разликата помеѓу вредноста на параметарот на примерокот (Mx) и хипотетичната вредност на параметарот (Mo),тогаш областа на отфрлање ќе се наоѓа само на едната страна од распоредот.Поради тоа ќе имаме примена на еднонасочниот тест.Ако со алтернативната хипотеза не се определува насоката на разликата,тогаш областа на отфрлање ќе се наоѓа на двете стани од распоредот и ќе се примени двонасочниот тест.

Област на прифаќање и отфрлање кај левостран еднонасочен тест
Област на прифаќање и отфрлање кај десностран еднонасочен тест

Кај еднонасочниот (унилатерален) тест областа на отфрлање на нултата хипотеза во целост се наоѓа на едниот крај на хипотетичниот распоред на веројатностите.Еднонасочниот тест ги следи отстапувањата само во една насока.Тоа значи дека ризикот α се распоредува само на еден крај на веројатностите.Заради тоа се разликува и процедурата за утврдување на критичната вредност, како и правилото на одлучување на кое се темели конечната одлука.Тоа ќе го објасниме со следниов пример:
Врз основа на прибраните информации оправдано е сомневањето на земјоделскиот стручњак дека просечниот принос на пченица е понизок во тековната во однос на предходната година.Својата констатација дека просечниот принос на пченица изнесува помалку од 4 тони по хектар, земјоделскиот стручњак ја проверува преку тестирање на хипотезата формулирана на следниот начин:

Ho : Mx ≥ 4
H1 : Mx < 4

Истражувачот избира примерок од 36 парцели и тестирањето го спроведува при ниво на значајност α=0,02, а од предходно искуство се знае дека стандардната девијација е 1,2.Имајќи ја во предвид големината на примерокот статистиката на тестот има приближно нормален распоред.Нултата хипотеза ќе биде точна ако просечната потрошувачка по хектар изнесува, на пример, 5 или 6 тони.Меѓу нив земјоделскиот стручњак мора да избере една хипотетична вредност на аритметичката средина на множеството.Врз основа на избраната вредност Mo тој ќе го прецизира хипотетичниот распоред на веројатностите на кој што ќе го користи при тестирањето.Во понатамошната постапка при тестирањето, истражувачот, за избрано ниво на ризик треба да ја определи областа на прифаќање и отфрлање на нултата хипотеза.За да биде точна нултата хипотеза, вредноста на тестираниот параметар може да биде поголема, но не смее да биде помала од 4, па поради тоа, целокупната област се наоѓа на левата страна на распоредот.

критична вредност

P(Z ≤ z)=α
F(z)=α


реализирана вредност


Во нашиот пример, за избрано ниво на значајност, α=0,02, критичната вредост за zα= -2,05.При ризик α=0,02, најмалата вредност zα= -2,05, која се уште може да се прифати како поддршка на нултата хипотеза.Оттаму, при статистиката на тестот , правилото на одлучување гласи:

Ho треба да се отфрли ако z < zα ; (z < -2.05)
Ho треба да се прифати ако z ≥ zα ; (z ≥ -2.05)


Реализираната вредност на z изнесува -2,5.Бидејќи z < zα, односно -2,5 < -2,05, земјоделскиот стучњак ќе заклучи, односно ќе донесе одлука дека треба да се отфрли нултата хипотеза со ризик α=0,02.Тоа значи дека разликата меѓу и Mo е статистички значајна, а не случајна.

Постапката при тестирањето на хипотезата која е формулирана во следниот облик:

Ho : Mx ≤ Mo H1 : Mx > Mo


Под претпоставка дека се задоволени условите за примена на нормалниот распоред на веројатностите на статистиката на тестот , се спреведува аналогно на предходното објаснување.Во овој случај, критичната вредност во целост е лоцирана на десната страна на распоредот.Таа се пресметува на следниот начин:

критична вредност

P(Z>z)=1-F(z)=α
F(z)=1-α


реализирана вредност


Правилото на одлучување гласи:

Ho треба да се отфрли ако z > z1-α
Ho треба да се прифати ако z ≤ z1-α


Така, на пример, ако истражувачката претпоставка гласи дека просечното време на траење на поправката на една машина е подолго од 5 часа, тогаш нултата и антернативната хипотеза се формулирани на следниот начин:

Ho : Mx ≤ 5
H1 : Mx >5


Да претпоставиме дека примерокот е со големина n=100, аритмеричката средина е 7 дена, стандардната девијација σ=2.На ниво на значајност α=0,01 треба да донесеме суд за прифаќање или отфлање на нултата хипотеза.Реализираната вредност на статистиката на тестот во конкретниот пример изнесува 10.Тоа значи дека е поголема од Мо за десет стандардни грешки.Бидејќи z=10 > z0,01=2,33 со ризик од 1 , ќе ја отфрлиме нултата хипотеза.Податоците од примерокот јасно ја поддржуваат нашата претпоставка која ја формулиравме во облик на алтернативна хипотеза.Бидејќи Ho ја отфрливме со ризик α=0,01, разликата меѓу и Мо ја нарекуваме статистички високо значајна.
Во постапката на тестирање на хипотези, нивото на значајност се избира однапред.Од избраното ниво на значајност зависи каде ќе бидат поставени областите (областа) на отфрлање на нултата хипотеза.Притоа, ако се користи пониско ниво на значајност се намалува веројатноста да се отфрли вистинитата нулта хипотеза.Поради тоа се користи p-вредноста која содржи попрецизна информација за силината на отфрлањето на нултата хипотеза.[5]


Тестови на средината на нормален распоред :варијансата на популацијата е позната[уреди | уреди извор]

Во разгледувањето на тестирањето на хипотезите истакнавме дека ако е отфрлена нултата хипотеза со користење на тест со ниво на значајност α, тогаш веројатноста на грешка е позната.Во овој случај или одлуката е точка или сме направиле грешка од прв вид.Но ако не ја отфрлиме нултата хипотеза не ја знаеме веројатноста на грешка.Така имаме силен доказ да поддржиме одредена позиција како нултата и алтернативната хипотеза се избрани така што отфрлањето на нултата хипотеза и прифаќањето на алтернативната хипотеза води до поддршка на нашата одредена позиција.Ова ќе го демонстрираме со следниот пример:

Претпоставете дека индустриските прописи пропишуваат дека ако средната тежина на пакувањето на популацијата е 16,1 унци или помалку за популацијата на пакување со тежина на етикетата од 16 унци, тогаш производителот ќе биде тужен.Тука наша цел е да се добие силен доказ дека средната тежина на пакувањето М е поголема од 16,1 унци.

Hо : M = Mо = 16,1
H1: M > Mо = 16,1


Со одредување на нашето правило на тестирање со ниво на значајност α,знаеме дека отфрлањето на нултата хипотеза обезбедува силен доказ дека средната тежина е поголема од 16,1 унци бидејќи веројатноста за грешка е мала вредност α.Со цел да донесеме соодветна одлука, го користиме фактот дека стандардизираната случајна променлива има стандарден нормален распоред,со средина 0 и варијасна 1, под услов нултата хипотеза да е точна.

Ако α е веројатноста на грешка од прв вид и z е толку големо што P(Z ≤ z)=α, тогаш за да се тестира нултата хипотеза, го користиме правилото на одлучување:

Се отфрла Ho ако - Моx > zα

Следува дека веројатноста на нултата хипотеза, кога таа е точна е нивото на значајност α.

Се отфрла Ho ако > xc = Мо + zασ/√n

Вредноста xc се нарекува критична вредност за одлуката. Претпоставете дека за овој проблем стандардната девијација е σ=0,4 и дека обезбедуваме случаен примерок со големина од 25.За тестот на едностраната хипотеза со ниво на значајност α= 0,05, вредноста zα = 1,645 се добива од таблицата за стандардизиран нормален распоред.Во овој случај нашето правило на одлучување е :

Се отфрла Ho ако > zα


Ако се отфрла нултата хипотеза, тогаш ја прифаќаме алтернативната, дека средната тежина е поголема од 16,1 унци со веројатност на грешка од прв вид од 0,05 или помала.Ова обезбедува силен доказ за поддршка на нашиот заклучок, но неможноста да се отфрли нултата хипотеза не води до заклучок дека или Ho е точна или избраната постапка не била доволно сензитивна за да ја отфрли Ho.

Да застанеме со цел да согледаме што се подразбира под отфрлање на Ho.Во проблемот со кутиии со житарици, хипотезата дека средината на популацијата е 16,1 би била отфрлена со ниво на значајност α= 0,05 ако > 16,232.

Оваа извесност не значи дека ние би имале доказ дека средината на популацијата надминува 16,1 единици.Само со податоците од примерокот, никогаш не можеме да бидеме сигурни за параметарот на популацијата.Напротив, би можеле да заклучиме дека податоците предизвикуваат сомневање во точноста на Ho.Ако Ho беше точна, тогаш гледаме дека набљудуваната вредност на средината на примерокот = 16,3 (на пр. 16,3 > 16,232) би претпоставувала неверојатно набљудување извлечено од нормален распоред со средина 16,1 и стандардна девијација 0,08.


Навистина, прашуваме колку е веројатно да се набљудува таква екстремна вредност ако нултата хипотеза била всушност, точна?Видовме дека веројатноста на набљудување на средната вредност поголема од 16,232 е 0,05.Оттука, со отфрлањето на Ho, или Ho е погрешна или сме набљудувале неверојатен настан, некој што би се случил само со веројатност помала од таа што е определена со нивото на значајност.Ова е контекстот во кој податоците на примерокот создават сомнеж за Ho.


Тестови на средината на нормален распоред :варијансата на популацијата е непозната[уреди | уреди извор]

Даден ни е случаен примерок од n набљудувања од нормална популација со средина M.Со користењето на примерокот и стандардната девијација σ, респективно, може да ги користиме следниве тестови со ниво на значајност α.Бидејќи варијансата не е позната мора да користиме тестови засновани на студентовиот t распоред.Студентовиот t распоред зависи од степените на слобода.Освен тоа, тој се приближува кон нормалниот распоред со зголемување на бројот на степени на слобода.

1.За се тестира или Ho

Ho : M = Mo или Ho : M ≤ Mo
против H1
H1 : M > Mo
Правило на одлучување:
се отфрла Ho ако < tn-1;α
или еквивалентно,
се отфрла Ho ако > xc = Mo + tn-1;αs√n


2.За се тестира или Ho

Ho : M = Mo или Ho : M ≥ Mo
против H1
H1 : M < Mo
Правило на одлучување:
се отфрла Ho ако < -tn-1;α
или еквивалентно,
се отфрла Ho ако < xc = Mo - tn-1;αs√n[6]


Поврзано[уреди | уреди извор]



Надворешни врски[уреди | уреди извор]


Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет – Скопје. ISBN: 978-608-212-009-6
  2. Калина Треневска Благоева (2003) „Статистичка анализа“, прво издание,Скопје: Економски факултет - Скопје. ISBN:9989-113-41-6
  3. Paul Newbold, William Carlson, Betty Thorne (2012): Statistics for Business and Economics (8th Edition). ISBN: 978-0132745659
  4. Драги Јанев,Славе Ристевски (1994) “Статистика за менаџмент и економија”, Економски факлултет-Скопје
  5. Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет – Скопје. ISBN: 978-608-212-009-6
  6. Paul Newbold, William Carlson, Betty Thorne (2012): Statistics for Business and Economics (8th Edition). ISBN: 978-0132745659