Делител

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Основно сметање
Собирање (+)
собирок + собирок = збир
Одземање (−)
намаленикнамалител = разлика
Делење (:)
деленик : делител = количник
Множење (⋅)
множителмноженик = производ
Степенување
основастепен = степен
Коренување (√)
показпоткор. гол. = корен
Логаритам
logосн(степен) = показател

Делител на еден цел број , наречен и фактор на , е цел број кој го дели без да има остаток.

Објаснување[уреди | уреди извор]

Поимот „делител“ е изведен од аритметичката операција делење: ако тогаш е деленик, е делител, а е количник.

Општо земено, за сите ненуларни цели броеви и , го дели , што се пишува:

ако постои цел број така што . Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, −1, −2, −4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и −1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.

1, −1, n и −n се нарекуваат тривијални делители на n. Делителот на n кој не е тривијален делител се нарекува нетривијален делител. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.


Примери[уреди | уреди извор]

  • 7 е делител на 42 бидејќи , па така велиме дека . Ова значи дека бројот 42 е делив со 7, 42 е содржател на 7, 7 го дели 42, или дека 7 е фактор на 42.
  • Нетривијалните делители на 6 се 2, −2, 3, −3.
  • Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • Множеството од сите позитивни делители на 60, , делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:
Lattice of the divisibility of 60.svg

Други поимувања и факти[уреди | уреди извор]

Постојат извесни елементарни правила:

  • Ако и , тогаш . Ова е транзитивна релација.
  • Ако и , тогаш или .
  • Ако и , тогаш НЕ е секогаш точно дека (на пр. и но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога и , тогаш е точно, како и .[1]

Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели“, кодно место U+2223 во TeX се пишува како \mid: . Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX \nmid: . Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка

Ако , а НЗД, тогаш . Ова се нарекува Евклидова лема.

Ако е прост број и тогаш или (или обете).

Еден позитивен делител на што е различен од се нарекува вистински делител или аликвотен дел на . Бројот кој не може рамномерно да го подели , туку има остаток, се нарекува аликвантен дел на .

Еден цел број чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на е производ од прости делители на дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.

Вкупниот број на позитивни делители на е мултипликативна функција , што значи кога два броја и се односно прости, тогаш . На пример, ; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја и имаат заеднички делител, тогаш може да не е точно. Збирот на позитивните делити на е друга мултипликативна функција (на пр. ). Обете функции се примери за делителни функции.

Ако простата факторизација на е дадена со

тогаш бројот на позитивни делители на изнесува

и секој од делителите го има обликот

каде за секој

Може да се види дека за секој природен број важи неравенството .

Можеме и да покажеме [2] дека

Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број n има очекуван околу очекувани делители.

Деливост на броевите[уреди | уреди извор]

Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група .

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Така имаме и
  2. Hardy, G. H.; E. M. Wright (17 април 1980). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press. стр. 264. ISBN 0-19-853171-0. 

Литература[уреди | уреди извор]

  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (III изд), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; дел B.
  • Oystein Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, NY, 1944.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]

  • Делител - Математика за сите (македонски)