Делител

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Основно сметање
Собирање (+)
собирок + собирок = збир
Одземање (−)
намаленикнамалител = разлика
Делење (:)
деленик : делител = количник
Множење (⋅)
множителмноженик = производ
Степенување
основастепен = степен
Коренување (√)
показпоткор. гол. = корен
Логаритам
logосн(степен) = показател

Делител на еден цел број n, наречен и фактор на n, е цел број кој го дели n без да има остаток.

Објаснување[уреди]

Поимот „делител“ е изведен од аритметичката операција делење: ако a/b = c тогаш a е деленик, b е делител, а c е количник.

Општо земено, за сите ненуларни цели броеви m и n, m го дели n, што се пишува:

m \mid n,

ако постои цел број k така што n = km. Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, −1, −2, −4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и −1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.

1, −1, n и −n се нарекуваат тривијални делители на n. Делителот на n кој не е тривијален делител се нарекува нетривијален делител. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.


Примери[уреди]

  • 7 е делител на 42 бидејќи 42/7 = 6, па така велиме дека 7 \mid 42. Ова значи дека бројот 42 е делив со 7, 42 е содржател на 7, 7 го дели 42, или дека 7 е фактор на 42.
  • Нетривијалните делители на 6 се 2, −2, 3, −3.
  • Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • Множеството од сите позитивни делители на 60, A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}, делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:
Lattice of the divisibility of 60.svg

Други поимувања и факти[уреди]

Постојат извесни елементарни правила:

  • Ако a \mid b и b \mid c, тогаш a \mid c. Ова е транзитивна релација.
  • Ако a \mid b и b \mid a, тогаш a = b или a = -b.
  • Ако a \mid b и c \mid b, тогаш НЕ е секогаш точно дека (a + c) \mid b (на пр. 2\mid6 и 3 \mid 6 но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога a \mid b и a \mid c, тогаш  a \mid (b + c) е точно, како и  a \mid (b - c).[1]

Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели“, кодно место U+2223 во TeX се пишува како \mid: \mid. Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX \nmid: \nmid. Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка

Ако a \mid bc, а НЗД(a, b) = 1, тогаш a \mid c. Ова се нарекува Евклидова лема.

Ако p е прост број и p \mid ab тогаш p \mid a или p \mid b (или обете).

Еден позитивен делител на n што е различен од n се нарекува вистински делител или аликвотен дел на n. Бројот кој не може рамномерно да го подели n, туку има остаток, се нарекува аликвантен дел на n.

Еден цел број n > 1 чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на n е производ од прости делители на n дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.

Вкупниот број на позитивни делители на n е мултипликативна функција d(n), што значи кога два броја m и n се односно прости, тогаш d(mn)=d(m)\times d(n). На пример, d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7); осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја m и n имаат заеднички делител, тогаш d(mn)=d(m)\times d(n) може да не е точно. Збирот на позитивните делити на n е друга мултипликативна функција \sigma (n) (на пр. \sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42). Обете функции се примери за делителни функции.

Ако простата факторизација на n е дадена со

 n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k}

тогаш бројот на позитивни делители на n изнесува

 d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1),

и секој од делителите го има обликот

 p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k}

каде  0 \le \mu_i \le \nu_i за секој 1 \le i \le k.

Може да се види дека за секој природен број n важи неравенството d(n) < 2 \sqrt{n}.

Можеме и да покажеме [2] дека

d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).

Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број n има очекуван околу \ln n очекувани делители.

Деливост на броевите[уреди]

Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви N во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група Z.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c) Така имаме и a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)
  2. Hardy, G. H.; E. M. Wright (17 април 1980). „An Introduction to the Theory of Numbers“. Oxford University Press. стр. 264. ISBN 0-19-853171-0. 

Литература[уреди]

  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (III изд), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; дел B.
  • Oystein Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, NY, 1944.

Надворешни врски[уреди]

  • Делител - Математика за сите (македонски)