Декартова теорема

Декартова теорема — геометриска теорема која вели дека за секои четири кружници кои меѓусебно се допираат (тангентни кружници), радиусите на кружниците задоволуваат одредена квадратна равенка. Со решавање на оваа равенка може да се конструира четврта кружница која е тангентна на трите дадени, меѓусебно тангентни кружници. Теоремата е именувана по Рене Декарт, кој ја поставил во 1643 година.

Историја

Геометриските проблеми кои вклучуваат тангентни кружници се разгледуваат со милениуми. Во грчките полиси од третиот век пр.н.е., Аполониј од Перга посветил цела книга на темата, De tactionibus [За допирањата]. Таа е изгубена и е позната само преку спомнувањето во други дела.

Рене Декарт накратко разговарал за проблемот во 1643 година, во писмо до принцезата Елизабета од Пфалц. Тој дошол до равенката која ја опишува врската помеѓу радиусите или кривините на четирите пара тангентни кругови. Овој резултат станал познат како Декартова теорема.

Овој резултат бил повторно откриен во 1826 година од Јакоб Штајнер, во 1842 година од Филип Бикрофт, и во 1936 година од Фредерик Соди. Кружниците кои се допираат (или кои се бакнуваат, како што рекол Соди) во овој проблем понекогаш се познати како кружници на Соди, а правата која ги поврзува нивните центри е позната како права на Соди можеби затоа што Соди избрал да ја објави својата верзија на теоремата во облик на песна, насловена „Прецизен бакнеж“. Соди, исто така, ја проширил теоремата на сферите; Торолд Госет ја проширил теоремата до произволно висока димензија.

Дефиниција на закривеност

Бакнувачки кружници. Ако се дадени три меѓусебно тангентни кружници (црните), колкав радиус може да има четвртата тангентна кружница? Општо земено, постојат два можни одговора (црвените ).

Декартовата теорема најлесно се формулира во однос на кривините на кружниците. Заобленоста (или свиокот) на кружница е дефинирана како $k=\pm 1/r$, каде $r$ е нејзиниот радиус. Колку е поголем радиусот, толку е помала големината на кривината и обратно.

Знакот на $k=\pm 1/r$ (претставен од страна на симболот $\pm$ ) е позитивен за кружница која е надворешно тангентена на другите кружници, како трите црни кружници на сликата. За внатрешно тангентна кружница (како големата црвена кружница), кој ги опкружува другите кружници, знакот е негативен. Ако правата се смета за дегенериран круг со нулта кривина (а со тоа и со бесконечен радиус), Декартовата теорема се применува и на права и три кружници кои се сите три меѓусебно тангентни.

За четири кружници кои се тангентни една на друга во шест различни точки, со кривини $k_{i}$ за $i=1,\dots 4$, Декартовата теорема гласи:

$(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).$

(1)

Кога се обидуваме да го пронајдеме радиусот на четвртата кружница тангентна на трите дадени тангентни кружници, равенката најдобро е запишана како:

$k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.$

(2)

Знакот ± го одразува фактот дека генерално постојат две решенија за оваа равенка и две тангентни кружници (или две дегенерирани прави) за која било дадена тројка тангентни кружници. Критериумите специфични за проблемот може да го фаворизираат едното од овие две решенија во однос на другото во секој даден проблем.

Посебни случаи

Една од кружниците се заменува со права линија со нулта кривина. Декартовата теорема сè уште важи.

Овде, бидејќи сите три кружници се тангентни една на друга во иста точка, Декартовата теорема не се применува.

Ако една од трите кружници се замени со права, тогаш еден k_i, на пример k₃, е нула и излегува од равенката (1). Тогаш равенката (2) станува многу поедноставна:

$k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.$

(3)

Ако две кружници се заменат со прави, тангентноста помеѓу двете заменети кружници станува паралелизам помеѓу нивните две замени - правите. За сите четири кружници да останат меѓусебно тангентни, другите две кружници мора да бидат складни. Во овој случај, со $k_{2}=k_{3}=0$, па равенката (2) се сведува на тривијалното равенство

$\displaystyle k_{4}=k_{1}.$

Не е возможно да се заменат три кружници со прави, бидејќи не е можно три прави и една кружница да бидат меѓусебно тангентни. Декартовата теорема не се применува кога сите четири кружници се тангентни едни на други во иста точка.

Друг посебен случај е кога $k_{i}$ се квадрати,

$(v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})$

Ојлер покажал дека ова е еквивалентно на симултаната тројка од Питагорови тројки,

$(2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}$

$(2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}$

$(2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}$

и може да се даде параметарско решение. Ако се избере знакот минус кај кривините,

$(-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})$

ова може да се реши како,

${\begin{aligned}{[}&v,x,y,z]\\[6pt]={}{\Big [}&2(ab-cd)(ab+cd),\ (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),\\&\qquad 2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),\ 2(ac-bd)(b^{2}+d^{2}){\Big ]}\end{aligned}}$

каде

$a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}$

чии параметарски решенија се добро познати.

Комплексна Декартова теорема

За целосно да се одреди кружницата, мора да се знае не само нејзиниот радиус (или кривина), туку и нејзиниот центар. Релевантната равенка се изразува најјасно ако координатите $(x,y)$ се толкуваат како комплексен број $z=x+{\textrm {i}}y$. Равенката тогаш изгледа слично на Декартовата теорема и затоа се нарекува комплексна Декартова теорема.

Ако се дадени четири кружници со кривини $k_{i}$ и центри $z_{i}$ (за $i=1,2,3,4$), во прилог на равенка (1) важи и следнава равенка:

$(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2}).$

(4)

Откако ќе се најде $k_{4}$, со помош на равенката (2), може да се продолжи кон пресметување на $z_{4}$ со препишување на равенката (4) во форма слична на равенката (2) :

$z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4}}}.$

Повторно, генерално, постојат две решенија за $z_{4}$, кои одговараат на двете решенија за $k_{4}$. Забележете дека знакот плус/минус во горната формула за $z$ не мора да одговара на знакот плус/минус во формулата за $k$.

Генерализации

Генерализацијата на $n$ димензии понекогаш се нарекува теорема Соди-Госет, иако била прикажана од Р. Лахлан во 1886 година. Во $n$-димензионалниот Евклидов простор, максималниот број на меѓусебно тангентни $(n-1)$ -сфери е $n+2$. На пример, во 3-димензионален простор, пет сфери можат да бидат меѓусебно тангентни. Искривувањата на хиперсферите го задоволуваат равенството

$\left(\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}\right)^{2}=n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2}$

со случајот $k_{i}=0$ кој одговара на рамна хиперрамнина, во точна аналогија со 2-димензионалната верзија на теоремата.

Иако не постои 3-димензионален аналог на сложените броеви, односот помеѓу позициите на центрите може повторно да се изрази како матрична равенка, која исто така се генерализира на $n$ димензии.

Поврзано

• Форд кругови
• Аполонска заптивка
• Проблем на Аполониј („Кружни допирки“)
• Хекслетот на Соди
• Тангентни линии на кружници
• Изопериметриска точка

Надворешни врски

• Интерактивен аплет кој демонстрира четири меѓусебно тангентни кругови при пресечениот јазол
• Прецизниот бакнеж