Група (математика)

Група — алгебарска структура што се состои од множество заедно со бинарна операција која е асоцијативна, има неутрален елемент и за секој елемент во множеството има инверзен елемент.

Групата е една од најраспространетите структури во математиката. Често се појавува во контекст на симетрии, но има и други примени. Целите броеви $\mathbb {Z}$ заедно со операцијата собирање претставуваат група.

Дефиниција

Една група е множество $G$ заедно со операција $\cdot :G\times G\to G$ , така што:

операцијата е асоцијативна, т.е. $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ за секои $a,b,c\in G$ .
постои елемент $e\in G$ , така што $g\cdot e=e\cdot g=g$ за секој $g\in G$ , наречен неутрален елемент
за секој елемент $g\in G$ постои елемент $h\in G$ , така што $g\cdot h=h\cdot g=e$ , наречен инверзен елемент. Овој елемент обично се означува со $g^{-1}$ .

Една група се нарекува Aбелова (по норвешкиот математичар Абел) или комутативна, ако за сите $g,h\in G$ важи $gh=hg$ .

Кардиналитетот на множеството на една група се нарекува ред на групата. Една група се нарекува конечна ако нејзиното множество е конечно.

Често $\cdot$ се испушта и наместо $g\cdot h$ пишуваме $gh$ .

Неутралниот елемент во една група е единствен. Нека $e'\in G$ е уште еден неутрален елемент. Тогаш $e\cdot e'=e'$ , бидејќи $e$ е неутрален елемент. Но исто така $e\cdot e'=e$ , бидејќи $e'$ е неутрален елемент. Од тоа следи дека $e=e'$ .

Исто така и инверзниот елемент на еден елемент е единствен. Нека $h,h'$ се инверзени елементи на $g$ . Тогаш $h=eh=(h'g)h=h'(gh)=h'$ .

Третото барање може да се олабави: Доволно е да са претпостави дека секој елемент има десен (или симетрично лев) инверзен елемент. Нека е $h$ десен инверзен елемент на $g$ . Тогаш и $h$ има десен инверзен елемент $g'$ . Исто како горе важи $g=ge=g(hg')=(gh)g'=eg'=g'$ . Ова значи дека $h$ е инверзен елемент на $g$ (од двете страни).

Примери

Цели броеви

Целите броеви заедно со обичното собирање претставуваат Абелова група.

Тривијална група

Множеството $\{e\}$ заедно со единствената можна операција $e\cdot e=e$ сочинуваат Абелова група.

Симетрична група

Нека $X$ е произволно множество и нека $\operatorname {Bij} (X,X)$ е множеството на сите инвертибилни функции $X\to X$ . Тогаш $\operatorname {Bij} (X,X)$ е група заедно со композиција на функции. Голем број на групи настануваат на сличен начин со додавање на дополнителни рестрикции на функциите.

Ако $X=\{1,2,\dots ,n\}$ , тогаш пишуваме $S_{n}:=\operatorname {Bij} (X,X)$ и ја нарекуваме оваа група $n$ -та симетрична група.

Литература

Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st. изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551.