Гаврилова хорна

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Тродимензионален приказ на Гавриловата хорна.

Гаврилова хорна или Торичилиева трубагеометриска фигура која има бесконечна плоштина на површината, но конечна зафатнина. Поимот е поврзан со христијанствохристијанската традиција која го наведува архангел архангел ГаврилГаврил како ангелот кој со свирење во хорна го најавува Судниот ден, асоцирајќи на божественото, или бесконечното со конечното. Особините на фигурата првично биле проучувани од италијанскиот физичар и математичар Еванџелиста Торичели во 17 век.

Математичка дефиниција[уреди | уреди извор]

Графикон на .

Гавриловата хорна се формира со графиконот на

во дефиниционата област со негово тродимензионално вртење околу x-оската. Откритието било направено користејќи го Кавалиеровиот принцип пред изумот на диференцијалното и интегралното сметање, а денес истите може да се користат за пресметување на зафатнината и плоштината на хорната меѓу x = 1 и x = a, каде a > 1. Користејќи интегрирање (за детали види Ротационо тело и Ротациона површина), можно е да се најдат зафатнината V и плоштината A:

Вредноста a може да биде голема колку што се бара, но од равенката може да се види дека зафатнината на делот од хорната меѓу x = 1 и x = a никогаш нема да надмине π; истата постепено се приближува до π како што a расте. Математички, зафатнината тежи кон π како што a тежи кон бесконечност. Користејќи го бележењето за лимес од математичката анализа:

Горната формула за плоштина на површина дава пониска граница за површината за 2π пати од природниот логаритам од a. Нема горна граница за природниот логаритам од a, бидејќи a тежи кон бесконечност. Ова значи, во овој случај, дека хорната има бесконечна плоштина. Математички изразено,

Очигледен парадокс[уреди | уреди извор]

Кога биле откриени својствата на Гавриловата хорна, фактот што ротација на бесконечно голем дел од рамнината xy генерира тело со конечна зафатнина бил сметан како парадокс. Додека делот што лежи во рамнината xy има неограничена површина, кој било друг дел паралелен со него има конечна површина. Значи зафатнината пресметана од „пондерирана сума“ од делови, е конечна.

Друг пристап е хорната да се третира како низа од дискови чии полупречници се намалуваат. Сумата од полупречници дава хармониски ред кој оди во бесконечност. Сепак, правилната пресметка е сума од нивните квадрати. Секој диск има полупречник r = 1x и површина πr2 или πx2. Редот 1x дивергира но 1x2 конвергира. Обопштено, за секое реално ε > 0, 1x1+ε конвергира.

Очигледниот парадокс бил дел од спор за природата на бесконечноста во кој биле вклучени бројни големи мислители од тоа време како Томас Хобс, Џон Валис и Галилео Галилеј.[1]

Постои сличен феномен кој се однесува на должините и површините во рамнина. Површината меѓу кривите 1x2 и -1x2 од 1 до бесконечност е конечна, но должината на двете криви е бесконечна.

Парадоксот на сликарот[уреди | уреди извор]

Бидејќи хорната има конечна зафатнина, но бесконечна плоштина, постои очигледен парадокс дека хорната може да се наполни со конечно количество боја и пак таа боја нема да биде доволна да ја покрие цела внатрешна површина. Парадоксот е решен со објаснувањето дека конечна количина на боја може всушност да прекрие бесконечна плоштина - едноставно потребно е да биден потенка со доволно брза стапка (слично како што редот 12N станува доволно брзо помал така што неговата сума е конечна). Во овој случај кога хорната се полни со боја, ова танчење како што се намалува пречникот на грлото на хорната.

Обратно[уреди | уреди извор]

Обратното на Гавриловата хорна – плоштина од ротација која има конечна плоштина, но бесконечна зафатнина – не може да постои кога се ротира континуирана функција на затворен сет:

Теорема[уреди | уреди извор]

Нека f : [1,∞) → [0,∞) е континуирано диференцијабилна функција. S е ротационото тело на графот y = f(x) околу x-оската. Ако плоштината на S е конечна, тогаш таква е и зафатнината.

Доказ[уреди | уреди извор]

Бидејќи страничната плоштина A е конечна, горниот лимес:

Значи, постои t0 такво што супремумот sup{ f(x) | xt0} е конечен. Оттука,

M = sup{ f(x) | x ≥ 1} мора да биде конечна бидејчи f е непрекината функција, што имплицира дека f е ограничена на интервалот [1,∞).

Конечно, зафатнината:

Значи: ако површината A е конечна, тогаш зафатнината V исто така мора да биде конечна.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas. Princeton University Press. стр. 82–91. ISBN 0-691-12056-0.

Литература[уреди | уреди извор]

Надворешни врски[уреди | уреди извор]