Ајнштајнови равенки за полето

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Ајнштајнови равенки за поле (EFE; исто така познати како "Ајнштајнови равенки") се сет од 10 равенки во nАлберт Ајштајновата Теорија за релативност што ги опишува фундаменталните интеракции на гравитацијата како резултат навремепросторот being curved by супстанца и енергија.

Слинчно како и кај електромагнетните полиња кои се одредени користејќи полнеж и Електрична струја преку Максвеловите равенки, ЕФЕ се користи да се одреди времепросторот како резултат од присуството на маса-енергија и линеарен моментун,т.е ти го одредуваат метрички тенсор на времепросторот за дадена енергија во времепросторот.Врската помеѓу Метричкиот тенсор и Ајнштајновиот тенсор дозволува ЕФЕ да биде напишан како сет нелинеарни парцијално диференцирани равенки користејќи ги на овој начин. Решенијата на ЕФЕ се компненти на метричкиот тенсор.

Како и почитувајќи го локалниот енергетски моментум, ЕФЕ се подразбира и за Њутновиот закон за гравитација каде гравитационото поле е многу слабо и брзините се многу помали од брзината на светлината.[1]

Исти решенија за ЕФЕ може да бидат најдени само во упростувања на претпоставки, како симетрија. Специјални класи на идентични решенија се многу често проучувани бидејќи покажуваат многу гравитациони феномени, како на пример ротациони црни дупки и проширувањето на универзумот. Понатамошнi упростувањa се достигнуваat со изедначување на времепросторот како рамен време-простор со мала девиација, водејќи до линеаризирано ЕФЕ. Овие равенки се користат за проучување феномени какп гравитациони бранови.

Mathematical form[уреди | уреди извор]

Шаблон:Времепростор Ајнштајновите равенки за поле може да бидат запишани во оваа форма:[2]

каде е Рицов искривен тенсор, е скаларно искривувње, е метрички тенсор, е космолoшка константа, е Њутнова гравитациона константа, е брзината на светлината во вакум, и стрес-енергетски тенсор. ЕФЕ е тенсор равенка важејќи како сет од симетрилни 4x4 тенсори. Секој тенсор има 10 самостојни компоненти. Четирите Бијанки идентитети го намалуваат бројот на независни равенки од 10 на 6, оставајќи го метричниот со 4 Гауж поправање степени на слобода, кој коореспондира со слободата да се одбере координатен систем.

Иако Ајнштајновите равенки за поле првично биле формулирани во контекст на 4 димензионална теорија, некои теоретичари ги истражувале последиците на н димензиите. Равенките кои се надвор од генералната релативност се уште се поврзуваат со Ајнштајновите равенки за поле. Вакумско поле равенки (овозможени кога T е еднакво на 0) го дефинираат Ајнштајновиот манифолд. Занемарувајќи го лесниот,првичен изглед на равенките,тие се комплицирани. Зададен специфичен придонес од маса и енергија во форма на стрес-енергетски тенсор,ЕФЕ се подразбира да е равенки за метрички тенсор , како Рицов тенсор и скаларно искривување во зависност од од метричноста е комплициран нелинеарен проблем.

Eдниот може да го пишува ЕФЕ во компактна форма со дефинирање на Ајнштајновиот тенсор

kој е симетричен втор ранк тенсор. ЕФЕ може да биде запишан како:

Kористејќи геоматризирани тела каде G = c = 1, ова може да биде презапишано како:


Конвенцијата знак[уреди | уреди извор]

Горе наведената форма на ЕФЕ е стандардна и воспоставена од Misner, Thorne, and Wheeler.[3] Авторите ги анализирале сите конвенции што постоеле и ги класифицирале според три знаци (S1, S2, S3):

Третиот знак горе е поврзан со изборот на конвенција за Рицовиот тенсор:

Со овие дефиниции Misner, Thorne, and Wheeler се класифицираат самите како , каде што Weinberg (1972)[4] is , Peebles (1980)[се бара извор] and Efstathiou (1990)[се бара извор] are while Peacock (1994)[се бара извор], Rindler (1977)[се бара извор], Atwater (1974)[се бара извор], Collins Martin & Squires (1989)[се бара извор] се .

Автори,вклучувајќи го и Ајнштајн употребувале различен знак за нивната дефиниција за Рицовиот тенсор што резултирало во знакот во константата да има промена на десната страна знакот да биде негативен

Знакот за (многу мал) космолошкиот термин би се сменил и во двете верзии,ако +−−− метрично конвенцијата знак се преферира MTW −+++ метричкот знак настанат тука.

Еквиваленти формулации[уреди | уреди извор]

Земајќи го трака со почит кон метричноста на двете страни од ЕФЕ едната добива

каде е времепросторската димензија. Ова може да биде презапишано како:

Ако едната додаде пати на ЕФЕ, едната ја добива следната еквивалиација "трага-oбратна" форма

На пример, во димензијата се намалува за

Свртувајќи ја повторно трагата би ја вратила оригиналната форма на еквиваленцијата. Обратно свртената трага може да биде погодна за некои случаи

Kосмолошка константа[уреди | уреди извор]

Ајнштајн ја модифицирал неговата оригинална равенка за да воведе космолошка константа term пропорционална со метричноста

Бидејќи е константа, законот за енергија не е манифестиран со оваа промена.

Космолошка константа како термник првично била објаснета од Ајнштајн за да докаже дека универзумот не се шири. Но,ефортот бил неуспешен поради:

  • Универзумот објаснет преку оваа теорија бил нестабилен, и
  • обзервацијата од Edwin Hubble докажала дека универзумот се шири.

Поради тоа,Ајнштајн на напуштил теоријата , нарекувајќи ја "најголемата грешка што [тој] некогаш ја направил".[5]

Занемарувајќи ја Aјнштајновата мотивација да воведе космолошка константа,не постои ништо што не е константно во таквата равенка.Многу години космолошката константа била речиси глобално прифатена да биде 0.


Ајнштајн мислел за космолошката константа да биде самостоен параметар,но исто така да може да биде алгебарски преместена од другата страна на равенка за поле,напишана како дел од стрес-енергетскиот тенсор:

Резултирајќи вакумска енергија која е константа и е

Features[уреди | уреди извор]

Conservation of energy and momentum[уреди | уреди извор]

General relativity is consistent with the local conservation of energy and momentum expressed as

.

which expresses the local conservation of stress–energy. This conservation law is a physical requirement. With his field equations Einstein ensured that general relativity is consistent with this conservation condition.

Nonlinearity[уреди | уреди извор]

The nonlinearity of the EFE distinguishes general relativity from many other fundamental physical theories. For example, Maxwell's equations of electromagnetism are linear in the electric and magnetic fields, and charge and current distributions (i.e. the sum of two solutions is also a solution); another example is Schrödinger's equation of quantum mechanics which is linear in the wavefunction.

The correspondence principle[уреди | уреди извор]

The EFE reduce to Newton's law of gravity by using both the weak-field approximation and the slow-motion approximation. In fact, the constant G appearing in the EFE is determined by making these two approximations.

Vacuum field equations[уреди | уреди извор]

A Swiss commemorative coin from 1979, showing the vacuum field equations with zero cosmological constant (top).

If the energy-momentum tensor is zero in the region under consideration, then the field equations are also referred to as the vacuum field equations. By setting in the trace-reversed field equations, the vacuum equations can be written as

In the case of nonzero cosmological constant, the equations are

The solutions to the vacuum field equations are called vacuum solutions. Flat Minkowski space is the simplest example of a vacuum solution. Nontrivial examples include the Schwarzschild solution and the Kerr solution.

Manifolds with a vanishing Ricci tensor, , are referred to as Ricci-flat manifolds and manifolds with a Ricci tensor proportional to the metric as Einstein manifolds.

Einstein–Maxwell equations[уреди | уреди извор]

Поврзано: Maxwell's equations in curved spacetime

If the energy-momentum tensor is that of an electromagnetic field in free space, i.e. if the electromagnetic stress–energy tensor

is used, then the Einstein field equations are called the Einstein–Maxwell equations (with cosmological constant Λ, taken to be zero in conventional relativity theory):

Additionally, the covariant Maxwell Equations are also applicable in free space:

where the semicolon represents a covariant derivative, and the brackets denote anti-symmetrization. The first equation asserts that the 4-divergence of the two-form F is zero, and the second that its exterior derivative is zero. From the latter, it follows by the Poincaré lemma that in a coordinate chart it is possible to introduce an electromagnetic field potential Aα such that

in which the comma denotes a partial derivative. This is often taken as equivalent to the covariant Maxwell equation from which it is derived.[6] However, there are global solutions of the equation which may lack a globally defined potential.[7]

Solutions[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Solutions of the Einstein field equations.

The solutions of the Einstein field equations are metrics of spacetime. These metrics describe the structure of the spacetime including the inertial motion of objects in the spacetime. As the field equations are non-linear, they cannot always be completely solved (i.e. without making approximations). For example, there is no known complete solution for a spacetime with two massive bodies in it (which is a theoretical model of a binary star system, for example). However, approximations are usually made in these cases. These are commonly referred to as post-Newtonian approximations. Even so, there are numerous cases where the field equations have been solved completely, and those are called exact solutions.[8]

The study of exact solutions of Einstein's field equations is one of the activities of cosmology. It leads to the prediction of black holes and to different models of evolution of the universe.

One can also discover new solutions of the Einstein field equations via the method of orthonormal frames as pioneered by Ellis and MacCallum.[9] In this approach, the Einstein field equations are reduced to a set of coupled, nonlinear, ordinary differential equations. As discussed by Hsu and Wainwright,[10] self-similar solutions to the Einstein field equations are fixed points of the resulting dynamical system. New solutions have been discovered using these methods by LeBlanc [11] and Kohli and Haslam.[12]

The linearised EFE[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Linearized gravity.

The nonlinearity of the EFE makes finding exact solutions difficult. One way of solving the field equations is to make an approximation, namely, that far from the source(s) of gravitating matter, the gravitational field is very weak and the spacetime approximates that of Minkowski space. The metric is then written as the sum of the Minkowski metric and a term representing the deviation of the true metric from the Minkowski metric, with terms that are quadratic in or higher powers of the deviation being ignored. This linearisation procedure can be used to investigate the phenomena of gravitational radiation.

Polynomial form[уреди | уреди извор]

One might think that EFE are non-polynomial since they contain the inverse of the metric tensor. However, the equations can be arranged so that they contain only the metric tensor and not its inverse. First, the determinant of the metric in 4 dimensions can be written:

using the Levi-Civita symbol; and the inverse of the metric in 4 dimensions can be written as:

Substituting this definition of the inverse of the metric into the equations then multiplying both sides by det(g) until there are none left in the denominator results in polynomial equations in the metric tensor and its first and second derivatives. The action from which the equations are derived can also be written in polynomial form by suitable redefinitions of the fields.[13]

See also[уреди | уреди извор]

Notes[уреди | уреди извор]

  1. Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. стр. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3. 
  2. Грешка во наводот: Погрешна ознака <ref>; нема зададено текст за наводите по име ein.
  3. Misner, Thorne & Wheeler 1973
  4. Weinberg 1972
  5. Gamow, George (April 28, 1970). My World Line : An Informal Autobiography. Viking Adult. ISBN 0-670-50376-2. http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html. конс. 14 март 2007 г. 
  6. Brown, Harvey (2005). Physical Relativity. Oxford University Press. стр. 164. ISBN 978-0-19-927583-0. http://books.google.com/?id=T6IVyWiPQksC&pg=PA164&dq=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22. 
  7. Trautman, Andrzej. Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with hopf fibrings. „International Journal of Theoretical Physics“ том  16 (9): 561–565. doi:10.1007/BF01811088. Bibcode1977IJTP...16..561T. .
  8. Stephani, Hans; D. Kramer; M. MacCallum; C. Hoenselaers; E. Herlt (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7. 
  9. Ellis, GFR and MacCallum, M, "A class of homogeneous cosmological models", Comm. Math. Phys. Volume 12, Number 2 (1969), 108-141.
  10. Hsu, L and Wainwright, J, "Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions", Class. Quantum Grav. 3 (1986) 1105-1124"
  11. LeBlanc, V.G, "Asymptotic states of magnetic Bianchi I cosmologies", 1997 Class. Quantum Grav. 14 2281
  12. Kohli, Ikjyot Singh and Haslam, Michael C, "Dynamical systems approach to a Bianchi type I viscous magnetohydrodynamic model", Phys. Rev. D 88, 063518 (2013)
  13. Einstein's Field Equations in Polynomial Form|http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0507026.pdf

References[уреди | уреди извор]

See General relativity resources.

External links[уреди | уреди извор]

Wikibooks
Англиските Викикниги нудат повеќе материјал на тема:

Шаблон:Einstein