Ајзенштајнов прост број

Мали Ајзенштајнови прости броеви. Оние коишто лежат на зелените оски соодветствуваат со природните броеви од обликот 3n - 1. Сите останати имаат апсолутна вредност којашто на квадрат е еднаква на природен прост број.

Ајзенштајнов прост број — Ајзенштајнов цел број од обликот:

$z=a+b\,\omega \qquad (\omega =e^{2\pi i/3})$

којшто е неделив или прост елемент во теоријата на прстени, односно неговите единствени Ајзенштанови деленици се единиците (±1, ±ω, ±ω²), a + bω и неговите изведени членови. Изведените членови, односно помножените единици, и конјугираните комплексни броеви од било кој Ајзенштајнов прост број се исто така прости броеви.

Особини

Ајзенштајновиот цел број z = a + b&omega е Ајзенштајнов прост број ако и само ако било кој од следните заемно исклучиви услови е задоволен:

1. z е еднаков на производот од единицата и природен прост број од обликот 3n - 1; и
2. |z|² = a² - ab + b² е природен прост број којшто е складен на 0 или 1 со модул 3.

Оттука следува дека апсолутната вредност на квадрат од секој Ајзенштајнов прост број е природен прост број или природен прост број на квадрат.

Примери

Првите неколку Ајзенштајнови прости броеви коишто се еднакви на природниот прост број од обликот 3n - 1 се:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, ... (низа A003627 во OEIS).

Природните прости броеви коишто се складни на 0 или 1 со модул 3 не се Ајзенштајнови прости броеви, бидејќи се подложни на нетривијално разложување во Z[ω]. На пример:

3 = - (1 + 2ω)²;

7 = (3 + ω)(2 - ω).

Некои нереални Ајзенштајнови прости броеви се:

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.

Што се однесува до конјугираните комплексни броеви и помножените единици, горенабројаните прости броеви, заедно со 2 и 5, се Ајзенштајнови прости броеви со [[апсолутна вредност којашто не надминува 7.

Големи прости броеви

Заклучно со март 2010, најголемиот познат реален Ајзенштајнов прост број е 19249 × 2^13018586 + 1, што е десетти најголем познат прост број, и истиот бил откриен од страна на Константин Агафонов. Сите поголеми познати прости броеви се Мерсенови прости броеви и биле откриени од страна на GIMPS. Реалните Ајзенштајнови прости броеви се складни на 2 со модул 3, а Мерсоновите прости броеви (освен најмалиот, 3) се складни на 1 со модул 3. Со тоа, ниту еден Мерсонов прост број не е Ајзенштајнов прост број.

Поврзано

• Ајзенштајнов цел број
• Прост број