Алгебарска структура

Алгебарска структура — множество заедно со (барем една) аритметичка операција дефинирана за елементите на тоа множество. Алгебарските структури се изучуваат од апстрактната алгебра.

Основата на алгебарската структура лежи во одредени основни својства што се однесуваат на одредена пресметковна операција. Овие својства се нарекуваат и аксиоми на алгебарската структура. Потоа алгебрата ги проучува својствата што се последица од аксиомите. Суштината на таквата работа е општоста: ако се утврди дека структурата има одредени својства, може да се заклучи дека овие својства се однесуваат општо на кое било множество што има таква структура.

Најважните алгебарски структури

Група

Најосновната алгебарска структура е група. Ова е множество $M$ врз кое може да се изврши одредена аритметичка операција без ограничувања (т.е. за кои било два елементи во $M$ , резултатот од операцијата е секогаш елемент од множеството $M$ ). Операцијата општо се запишува со симболот $*$ . Следните аксиоми мора да важат за оваа операција (за секое $a,b,c\in M$ ):

операцијата е асоцијативна : $a*(b*c)=(a*b)*c$ ;
Во множеството постои неутрален елемент $e$ , така што: $a*e=e*a=a$ ;
секој елемент $a$ има свој инверзен елемент $a^{-1}$ , така што: $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ .

Особено интересен пример за група е Абеловата група. Ова е група во која, покрај трите наведени погоре, важи и четврта аксиома:

операцијата е комутативна : $a*b=b*a$

Постојат многу конкретни множества кои имаат структура на група:

Множеството на сите цели броеви со операцијата собирање е Абелова група
Множеството на сите реални броеви со операцијата собирање е Абелова група
Множеството на сите реални броеви различни од 0, со операцијата множење е Абелова група
Множеството на сите бијективни функции на едно множство во самиот себе со операцијата композиција на функции е група, но не е Абелова група.

Прстен и обем

Уште поинтересни за апстрактната алгебра се множествата во кои се дефинирани две аритметички операции. Едната од операциите обично се нарекува собирање и се означува со знакот $+$ , а другата се нарекува множење и се означува со знакот $\cdot$ (или за општост, $*$ ).

Таквото множество $A$ се нарекува прстен ако $A$ е Абелова група за операцијата $+$ , а покрај тоа за множењето важат асоцијативниот и дистрибутивниот закон.

Прстен кој содржи и неутрален елемент за множење се нарекува прстен со единица. Ако, покрај тоа, секој елемент од прстенот (освен елементот $0$ ) има свој инверзен елемент за множење, таквото множество се нарекува опсег. Опсег во кој множењето е комутативно се нарекува комутативен опсег или поле.

Познати комутативни опсези се:

Векторски простор

Векторскиот простор е малку поинаква структура со две пресметковни операции. Тој е обопштување на множеството елементарни тридимензионални вектори.

Векторски простор е множеството V кое е Абелова група за собирање, и на ова множество не е дефинирана друга аритметичка операција, туку ги поврзува елементите на множеството V со елементите од некој комутативен опсег F. Оваа операција се нарекува множење на вектор со скалар и мора да има слични својства како соодветната операција на множеството обични вектори во рамнината или во тридимензионален простор.

Интересни примери за векторски простори може да се најдат во множеството функции.

Поврзано

Литература

Prijatelj, Niko (1967), Matematične strukture 2, Knjižnica Sigma (št. 15), Ljubljana: Mladinska knjiga