Отсечка

Отсечка ${\overline {AB}}$ e дел од права $AB$

Во геометријата, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.

• Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со ${\overline {AB}}$ .
• Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
• Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.

Дефиниција на отсечка

Нека А и В се две посебни точки. Отсечката ${\overline {AB}}$ е множеството на сите точки   $C=A(1-t)+Bt$   каде што   $t\in [0,1]$ .

Средина (средна точка) на отсечка

С e средната точка на отсечката -
Оди на интерактивноста

Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката   ${\overline {AB}}$   е точката   $C={\frac {A+B}{2}}$  .

• Во 2-димензионален простор: $A=(x_{1},y_{1})$   $B=(x_{2},y_{2})$.

Средната точка е: $C=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)$ . 

Пример: Нека $A=(-1,3)$ и $B=(2,1)$. Средната точка на отсечката ${\overline {AB}}$   e:   $C=\left({\frac {-1+2}{2}},{\frac {3+1}{2}}\right)=(0,5;2)$.

• Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].

Пропорционалноста важи и потаму. На пример, се заменува t=¹⁄₃ за да се добие точката C на отсечката која е ¹⁄₃ од патот од А до Во:   $C={\frac {2}{3}}\cdot A+{\frac {1}{3}}\cdot B$  .

Должина на отсечка

Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема

Должината на ${\overline {AB}}$ e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со $|{\overline {AB}}|\,=\,\delta _{A,B}$.

Во 2-димензионален простор:

• Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x₁,y) и B=(x₂,y) со истата у-координата и x₂>x₁ е:   $\delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|=x_{2}-x_{1}$.
• Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y₁) и B=(x,y₂) со истата x-координата и y₂>y₁ е:   $\delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|=y_{2}-y_{1}$.
• Точки:   $A=(x_{1},y_{1})$   $B=(x_{2},y_{2})$.   Должината на   ${\overline {AB}}$ е:  

$\delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$  

Пример: Нека $A=(-1,3)$ и $B=(2,1)$. Должината на отсечката ${\overline {AB}}$   e:   $\delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|={\sqrt {(2-(-1))^{2}+(1-3)^{2}}}={\sqrt {13}}\approx 3,6$.

Во 3-димензионален простор:

• Точки:   $A=(x_{1},y_{1},z_{1})$   $B=(x_{2},y_{2},z_{2})$.   Должината на   ${\overline {AB}}$ е:  

$\delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

Доказ: Се користи Питагорова теорема.

• Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x₂>x₁ и y₂>y₁. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x₂ - x₁| и |y₂ - y₁|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)²=x², знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
• Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка $B'=(x_{2},y_{2},z_{1})$ со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z₁. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што $|{\overline {AB'}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$. Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека $|{\overline {BB'}}|={\sqrt {(z_{2}-z_{1})^{2}}}$   за да се доби дадената формула.

Крајни точки

Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.

• крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
• крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и

Има 4 можни случаи.

• затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
• отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
• полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
• полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.

Затворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1]

Отворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1)

Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1)

Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1]

Ориентирана отсечка

При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека

• Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
• Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.

Параметарски облик на отсечка

Нека се дадени две точки А(x₁,y₁,z₁) и B=(x₂,y₂,z₂).

• Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на параметарскио облик на правата која врви низ А и В за t ∈ [0,1], односно

  $\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x(t)={x_{1}}+{a}t}\\{y(t)={y_{1}}+{b}t}\\{z(t)={z_{1}}+{c}t}\end{array}}\right.$ каде што ${a=(x_{2}-x_{1})},\,{b=(y_{2}-y_{1})},\,{c=(z_{2}-z_{1})}$ ,   $t\in [0,1]$ 

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)

Отсечка и векторски простори

Ако V е векторски простор над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$, и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како:   $L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$   за некои вектори $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$. Во тој случај векторите u и u + v се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.)

Поврзани теми

• Права (геометрија)
• Полуправа
• Интервал
• Наклон
• Аналитичка геометрија
• Крива

Надворешни врски

• Геогебра наредба: Отсечка (македонски)
• http://www.youtube.com/watch?v=iA-kpdSz4mw видео за пресметување на должина на отсечка (англиски)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment (англиски)