Фрактална димензија

Првите четири итерации на Коховата крива, која има приближна Хаусдорфова димензија од 1,2619

Фрактална димензија (D) — статистичка величина што покажува во која мера еден фрактал го исполнува просторот, како што увеличуваме на сè поситен размер. Постојат многу поединечни определби на фракталната димензија. Најважните теоретски фрактални димензии се Рењиевата димензија, Хаусдорфовата димензија и димензијата на исполнетост. Во практиката широка примена наоѓаат преградната и корелациската димензија, особено поради тоа што се лесни за примена. Кај преградниот алгоритам, бројот на прегради што го опфаќа множеството точки е функција на степенување на големината на преградата. Фракталната димензија се проценува како показател на тоаа степенување. Иако кај некои класични фрактали сите овие димензии се совпаѓаат, општо земено тие не се еквивалентни една на друга.

Нетривијален пример би била фракталната димензија на Коховата крива („снегулка“). Има тополошка димензија, но воопшто не е исправлива крива: должината на кривата помеѓу било кои две точки на Коховата крива е бесконечна. Кривата не содржи ниедно линеарно парче, туку се состои од бесконечен број на отсечки сврзани под различни агли. Фракталната димензија на една крива може да се образложи интуитивно ако си ја претставиме фракталната линија како објект кој е преголем за да може да биде еднодимензионален, но претенок за да биде дводимензионален. Затоа нејзината димензија најдобро може да се претстави како фрактална димензија, што е број помеѓу еден и два.

Конкретни определби

Сл.(1) Дефинирање на димензија од единичен објект

Постојат два начини на создавање на фрактални структури. Еден е со израснување од единичен објект (Сл. 1), а другиот е со конструкција на понатамошни поделби на првичната структура, како кај Серпинскиевиот триаголник (Сл.2). Тука го следиме вториот начин за да ги определиме димензиите на фракталните структури (слика 1).

Ако имаме објект со линеарна големина еднаква на 1 што се наоѓа во Евклидова димензија $D$, и му ја намалиме линеарната големина за фактор $1/l$ во секој просторен правец, тогаш бројот на потребни самослични објекти за да го покриеме изворниот објект изнесува $N=l^{D}$ (Сл.(1)). Меѓутоа, димензијата зададена со

$D={\frac {\log N(l)}{\log l}}$

(каде логаритамот може да биде на било која основа) сепак е еднаква на нејзината тополошка или Евклидова димензија. Применувајќи ја горенаведената равенка врз фракталната структура, ја добиваме нејзината димензија (за која Хаусдорф докажал дека е истоветна со Хаусдорфовата димензија) as a non-whole number as expected.

$D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}$

каде $N$(ε) е бројот на самослични структури со линеарна големина ε што се потребни за да се покрие целата структура.

На пример, фракталната димензија на Серпинскиевиот триаголник (Сл.(2)) се добива вака:

$D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 3^{k}}{\log 2^{k}}}={\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,585.$

Сл.(2) Серпинскиев триаголник изведен со рекурзивно делење на изворната структура

Во блиско сродство со ова поимување е и преградната димензија, која го дели просторот со решетка од прегради со големина ε, и потоа пресметува колку прегради од тој размер ќе опфатат дел од атракторот? Повторно имаме,

$D_{0}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}.$

Други димензионални величини се информациската димензија, која ја востановува просечната информација потребна за утврдување на размерот на преградите, како што тој се намалува:

$D_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {-\langle \log p_{\epsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}$

и корелативната, која е веројатно најлесна за пресметување,

$D_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0,M\rightarrow \infty }{\frac {\log(g_{\epsilon }/M^{2})}{\log \epsilon }}$

каде M е бројот на точки потребен за создавање на приказот на фракталот или атракторот, а g_ε е бројот на парови точки кои се поблиски од ε една од друга.

Рењиеви димензии

Преградната, информациската и корелациската димензија, can be seen as special cases of a continuous spectrum of generalised or Рењиеви димензии of ред α, defined by

$D_{\alpha }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{1-\alpha }}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}$

каде именителот е границата на Рењиевата ентропија од ред α. Рењиевата димензија со α=0 ги третира подеднакво сите делови на потпората на атракторот; но кај поголемите вредности на α, пресметката дава најголема тежина на најчесто посетените делови на атракторот.

Еден атрактор за кој Рењиевите димензии не се еднакви се нарекува „мултифрактал“, т.е. има повеќефрактална структура. Ова значи дека разни делови на атракторот се однесуваат различно при менување на размерот.

Поврзано

• Самосличност
• Лакунарност
• Манделбротово множество
• Жилиино множество

Наводи

• Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004)

Надворешни врски

• За фракталите и фракталната димензија Архивирано на 11 октомври 2010 г. — ФЕИТ (македонски)
• Проценител на фрактални димензии (Јава) (англиски)