Геометриска распределба

Од Википедија — слободната енциклопедија
Геометриска распределба
Закон на распределба (pdf)
Кумулативна распределба (cdf)
ТипДискретна
ОзначувањеG(p)
Параметриp∈[0,1]
Поддршкаk∈{1,2,...,n,...}
PDF
CDF
μ
σ2


Во веројатностa и во статистиката, геометриска распределба G(p), p∈(0,1) е случаен експеримент во кој Бернулиев опит со веројатност на успех p се повторува сè додека нема успех, па се запишува бројот k на повторувањето кога се случил тој прв успех.[1]

Одлики на геометриската распределба G(p)[уреди | уреди извор]

  • Геометриската распределба е потполно определена со веројатноста на успехот p.
  • Геометриската распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со безброј елементи: X={1,2,...,n,...}=ℕ.
  • Pr(X=k) е веројатноста дека за првпат имало успех на k-тото повторување на Бернулиевиот опит со веројатност на успех p, k∈X. (Значи, сите k-1 повторувања на опитот пред тоа биле неуспешни).

Во табелата подолу се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит) во геометриски експеримент. Подредените исходи не се исходите на геометрискиот експеримент. Во експериментот, исходите се само k, но вака можеме да видиме како се пресметува соодветната веројатност на исходот.

k 1 2 3 4 5 ...
  1 01 001 0001 00001 ...
  • Има точно еден исход за секој k∈X, односно точно еден исход каде што во k-тото повторување е првиот успех (а штом се појави успех застануваме со повторување на Бернулиевиот опит).
  • Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиев опит е независно од минатите и од идните повторувања, веројатноста Pr(X=k) е веројатност на k-1 неуспеси и 1 успех, односно
.

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.[2]

каде што имаме збир на бескрајна геометриска низа, т.е. геометриски ред со полупречник r=(1-p) таков што 0<r<1. Следува

.

Распределби на геометриска распределба[уреди | уреди извор]

Закон на распределба - PDF на G(p)[уреди | уреди извор]

PDF на G(p)
X=k Pr(X=k)=f(k)
1
2
3
... ...
n
... ...

Кумулативна распределба - CDF на G(p)[уреди | уреди извор]

Вредностите на кумулативната распределба се делумните збирови на геометриски ред.[3]

CDF на G(p)
x∈ℝ F(x)
x<1
1≤x<2
2≤x<3
... ...
n≤x<n+1
... ...

Мерки на геометриски експеримент[уреди | уреди извор]

Примери[уреди | уреди извор]

Пример: Експериментот е: Се фрла коцка сè додека не падне 5-ка. Опиши го експериментот. Експериментот е геометриска распределба со Бернулиев опит: успех=5-ка. Значи p==0,167. Значи G(0,167).

PDF-от на G(0,167)
X=k f(k)=Pr(X=k)
1  0,1667·0.83330=0,1667
2  0,1667·0.83331=0,1389
3  0,1667·0.83332=0,1157
4  0,1667·0.83333=0,0965
... ...
25  0,1667·0.833324=0,0130
... ...
Σ 1,0000
CDF-от на G(0,167)
x F(x)
x<1 0
1≤x<2 0,1667
2≤x<3 0,3056
3≤x<4 0,4213
4≤x<5 0,6723
... ...
15≤x<16 0,9351
... ...
Очекуваната вредност: E(x) = 1/p = 1/0,167 = 6
Дисперзијата е: σ2 = (1-p)/ = 0,833/0,167² = 30
Стандардното отстапување е: σ ≈ 5,477


Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Плаќа 1000 ден. за секое стрелање, а добива 1000 ден. кога ќе ја погоди целта. Престанува да стрела кога ќе ја погоди целта, но стрела максимум 5 пати. Колку му е просечно плаќање/добивка?

Претставување на геометриска распределба со Геогебра[уреди | уреди извор]

За графички приказ на PDF-от, т.е. Законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на геометриска распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.[6]

Дефиниции специфични за геометриската распределба се:

p=0,8  (или соодветен лизгач)

N=20  (наш избор бидејќи Х има безброј многу елементи; за помали p треба поголем N)

list1=Sequence[k,k,1,N]   Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[ p (1 - p)^(k-1), k, 1, N]   Ја дефинира list2 со веројатностите.

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k,k,1,N]

листа2=Низа[p (1 - p)^(k-1), k, 1, N]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).


Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Geometric distribution" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 343. Посетено на 1 септември 2013.
  2. „Proof of PMF of Geometric Distribution“ (англиски). Посетено на 1 ноември 2013.[мртва врска]
  3. „Geometric Series“ (англиски). Purple Math. Посетено на 1 ноември 2013.[мртва врска]
  4. „Proof of Expectation of Geometric Distribution“ (англиски). Посетено на 1 ноември 2013.
  5. „Proof of Variance of Geometric Distribution“ (англиски). Посетено на 1 ноември 2013.
  6. Стојановска, Л (2013). „Геометриска Распределба“. Архивирано од изворникот на 2022-05-20. Посетено на 1 October 2013. интерактивен

Поврзани теми[уреди | уреди извор]

Надворешни врски[уреди | уреди извор]