Сфероид

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
OblateSpheroid.PNG
ProlateSpheroid.png
сплеснат сфероид издолжен сфероид

Сфероид или вртежен елипсоид е површина од втор ред (квадрична површина) добиена со ротација на елипса околу нејзината оска, т.е. елипсоид со два еднакви полупречника.

Ако елипсата ја ротираме околу нејзината голема оска, добиваме издолжен (пролатен) сфероид, како топка за рагби. Ако елипсата ја ротираме околу малата оска, добиваме сплеснат (облатен) сфероид, како леќа. Ако појдовната елипса е кружница, добиваме сфера.

Поради гравитацијата и ротацијата (вртењето), Земјата има облик на сфера што е малку сплесната кон оската. Затоа во картографијата Земјата се претставува како сплеснат сфероид наместо како сфера. Тековниот модел на Светскиот геодетски систем (WGS84), користи сфериод чиј радиус изнесува приближно 6.378,137 км кај екваторот и 6.356,752 км кај половите (разлика од над 21 км).

Равенка[уреди]

Сфероид со средиште во почетокот „y“ и свртен околу оската z се дефинира со имплицитната равенка:\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{a}\right)^2+\left(\frac{z}{b}\right)^2 = 1\quad\quad\hbox{ or }\quad\quad\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 каде a е хоризонталниуот напречен (трансверзален) радиус на екваторот, а b е вертикалниот коњугиран радиус.[1]

Површина[уреди]

Издолжениот сфероид има површина:2\pi\left(a^2+\frac{a b \alpha}{\sin(\alpha)}\right) каде \alpha=\arccos\left(\frac{a}{b}\right) е аголниот отклон на издолжениот сфероид, а e=\sin(\alpha) енеговиот (обичен) отклон.

Сплеснатиот сфероид има површина

2\pi\left[a^2+\frac{b^2}{\sin(\alpha)} \ln\left(\frac{1+ \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)\right] where \alpha=\arccos\left(\frac{b}{a}\right) е аголниот отклон на сплеснатиот сфероид.

Волумен[уреди]

Велуменот на сфероид (од секој вид) е \frac{4}{3}\pi a^2b \approx 4,19\, a^2b. Ако A=2a е екваторскиот дијаметар, а B=2b е поларниот дијаметар, тогаш волуменот ќе биде \frac{1}{6}\pi A^2B \approx 0,523\, A^2B.

Закривеност[уреди]

Ако сфероидот го параметризираме како

 \vec \sigma (\beta,\lambda) = (a \cos \beta \cos \lambda, a \cos \beta \sin \lambda, b \sin \beta);\,\!

каде \beta\,\! е намалено или параметарска должина, \lambda\,\! is the ширина, а -\frac{\pi}{2}<\beta<+\frac{\pi}{2}\,\! а -\pi<\lambda<+\pi\,\!, тогаш неговата Гаусова кривина ќе биде

 K(\beta,\lambda) = {b^2 \over (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^2};\,\!

а неговата средна кривина е

 H(\beta,\lambda) = {b (2 a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta) \over 2 a (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^{3/2}}.\,\!

Обете кривини секогаш се позитивни, така што секоја точка на сфероидот е елиптична.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

Надворешни врски[уреди]