Рошеова граница

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Замислена орбитирачко тело од течност во поле на гравитација, набљудувана над орбиталната рамнина. Далеку од Рошеовата граница телото е практично топка.
Во близина на Рошеовата граница телото е деформирано под дејство на плимните сили.
На самата Рошеова граница телото не моѓе да ги совлада пплимните сили и истото се распаѓа.
Честичките поблиску до гравитационото тело забрзуваат побрзо кон центарот од оние кои се поодалечени, како што е прикажано со црвените стрелки.
Променливата орбитална брзина на материјалот доведува до формирање на прстен околу гравитационото тело.


Рошеовaта граница некогаш и позната како Рошеов радиус — растојанието во кое некое небесно тело, е стабилно благодарение само на сопствената гравитација, и истото ќе се распадне во присуство на второ небесно тело со плимна сила поголема од гравитационата сила која го држи стабилно второто тело.[1] Во внатрешноста на Рошеовата граница, орбитирачкиот материјал се распределува и формира прстени додека пак материјалот надвор од границата тежнее да се слепува и создава поголеми тела. Поимот своето име го добил по Едуард Рош, француски астроном, кој прв теориски ја пресметал оваа граница во 1848 година.[2]

Објаснение[уреди]

Вообичаено, Рошеовата граница се однесува за сателити кои се распаѓаат по дејство на плимната сила која потекнува од поголемото тело околу кое сателитот орбитира. Деловите од сателитот кои се поблиску до големото тело се привлечени со поголема гравитациона сила, додека пак поодалечените делови се исфрлени под дејство на закривената орбита и силната центрифугална сила. Некои постоечки сателити, како природни така и вештачки, орбитираат во внатрешноста на Рошеовата граница бидејки во оваа состојба ги одржуваат сили поразлични од гравитационата сила. Јупитеровата месечина Метида и Сатурновата месечина Пан се примери за вакви сателити, кои се одржуваат во моменталната состојба благодарение на влечната цврстина (истите се цврсти тела кои не можат лесно да бидат растргнати). Всушност телата кои би биле на површината на овие сателити би биле подигнати од плимните сили. Послаби сателити, како на пример комети, ќе се распаднат во моментот кога ќе ја надминат Рошеовата граница.

Бидејќи плимните сили ја совладуваат гравитацијата која го задржува телото во целовитост во внатрешноста на Рошеовата граница, не може да се создаде поголем сателит од помали честички во внатрешноста на границата. Ова е потврдено, и сите познати планетарни прстени се во внатрешноста на сопствената Рошеова граница, Сатурновиот Е-прстен и Фебин прстен се исклучоци. Тие можеби се остатоци од создавањето на прото-планетарниот ротирачки диск, кој не успеал да формира месечини, или пак се создале кога некоја месечина навлегла во Рошеовата граница и се распаднала.

Рошеовата граница не е единствената причина која предизвикува кометите да се распаднат. Распаднувањето под дејство на топлинскиот стрес, и внатрешниот гасен притисок и ротационите сили се останатите начини кои придонесуваат една комета да се распадне.

Определување на Рошеовата граница[уреди]

Ограниченото растојание до кое еден сателит може да се приближи без да се распадне зависи од цврстината на самиот сателит. Во една крајност, многу цврст сателит ќе ја задржи својата форма се до оној момент додека плимните сили не го распаднат. Во друга крајност, доста порозен сателит постепено ќе ја менува формата, со што плимните сили ќе се засилуваат, сателитот ќе се издолжи, со што плимните сили ќе делуваат позасилено со што распадот ќе биде подеднакво распределен. Повеќето постоечки сателити ќе бидат некаде меѓу овие две крајности, каде влечните сили во сателитите предизвикуваат тој да не биде ни цврст но ни порозен. Рошеовата граница исто така се пресметува и во случаите на кружни орбити, иако направо оваа преметка може да се прилагоди (на пример) за тело кои се движи по параболична или хиперболична патека.

Пресметки за цврсти сателити[уреди]

Рошеовата граница на цврстите тела е упростена пресметка за топчести сателити. Неправилните форми предизвикани на телото под дејство на плимните сили или неправилната форма на телото околу кое орбитира се занемаруваат. Се претпоставува дека имаме хидростатичка рамнотежа. Овие претпоставки, иако нереални, ги олеснуваат пресметките.

Рошеовата граница за цврст топчест сателит е растојанието, d, од главното тело од и при кое гравитационата сила на маса на површината е еднаква на плимната сила која го одвлекува телото од главното тело:[3][4]

 d = 1.26\; R_M\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}

каде R_M е полупречникот на главното тело, \rho_M е густината на главното тело, и \rho_m е густината на сателитот. Па ова може да се презапише и како:

 d = 1.26\; R_m\left( \frac {M_M} {M_m} \right)^{\frac{1}{3}}

каде R_m е полупречникот на сателитот, M_M е масата на главното тело, и M_m е масата на сателитот.

Тука зависноста не се заснова на големината на објектите, туку на односот на густините. Ова е орбиталното растојание во внатрешноста каде имаме порозен материјал (пример реголит) на површината на сателитот во близината на главното тело кој ќе биде привлечен од површината кон главното тело, како и материјалот на спротивната страна кој ќе биде привлечен кон главното тело, а не кон сателитот.

Изведување на равенката[уреди]

Изведување на Рошеовата граница

За да се определи Рошеовата граница, ќе разгледаме мала маса u на површината на сателитот најблиску до главното тело. Имаме две сили кои влијаат на оваа маса u: гравитационата сила насочена кон сателитот и гравитационата сила насочена кон главното тело. Да се претпостави дека сателитот е во слободен пад околу главното тело и дека плимната сила е единствената сила која е важна и потекнува од главното тело. Оваа претпоставка е поедноставување на слободниот пад кој се применува за планетарниот центар но оваа претпоставка ќе го олесни изведувањето на равенката.[5]

Гравитационот привлекување F_G на масата u кон сателитот со сопствена маса m и полупречник r може да се изрази со Њутновиот закон за гравитација

 F_G = \frac{Gmu}{r^2}

плимната сила F_T на масата u насочена кон главното тело со полупречник R и маса M, на растојание d меѓу двата центри на двете тела, се прикажува со изразот:

 F_T = \frac{2GMur}{d^3}.

За да се добие оваа претпоставка, се бара разликата меѓу гравитационата привлечна сила на главното тело кон центарот на сателитот и на работ од сателитот најблиску до главното тело:

 F_T = \frac{GMu}{(d-r)^2}-\frac{GMu}{d^2}
 F_T = GMu\frac{d^2-(d-r)^2}{d^2(d-r)^2}
 F_T = GMu\frac{2dr-r^2}{d^4-2d^3r+r^2d^2}

Во претпоставките каде r<<R и R<d, може да се каже дека r^2 во броителот и секој запис со r именителот станува нула, и се добива:

 F_T = GMu\frac{2dr}{d^4}
 F_T = \frac{2GMur}{d^3}

Рошеовата граница се добива кога гравитационата сила е изедначена со плимната сила.

 F_G = F_T \;

или

 \frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3},

каде се добива Рошеовата граница, d, каде

 d = r \left( 2\;\frac{M}{m} \right)^{\frac{1}{3}} .

Но, не сакаме да ни се појавува радиусот на сателитот во изразот за границата, па се презапишуваат условите за густините.

За топка со маса M се запишува

 M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3} каде R е полупречникот на главното тело.

и слично се добива

 m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3} каде r е полупречникот на сателитот.

Заменувајќи ги масите во равенката за Рошеовата граница, и поништувајќи го 4\pi/3 се добива

 d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3} ,

израз кој може да се упрости до Рошеовата граница:

 d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 1,26 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} .

Бидејќи близок сателит ќе има скоро кружна орбита и истовремена ротација, да се земе дека центрифугалната сила од ротацијата ќе влијае на резултатите. Оваа сила е

 F_C = \omega^2 ur = \frac{GMur}{d^3}

и се додава на FT. Со изедначувањето на силите се добива резултатот за Рошеовата граница:

 d = R\left( 3\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 1,44 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} .

Порозни сателити[уреди]

Подобри пресметки за Рошеовата граница се добиваат кога ќе земе во предвид развлекувањето нна сателитот. Необичен пример би биле плимно сврзани порозен сателит кој орбитира околу планета, каде секоја сила која дејствува на сателитот, истито ќе го развлече во форма на сфероид.

Пресметката е сложена и резултатот не може да се претстави со алгебарски израз. Рош самиот го извел следново приближно решение за Рошеовата граница:

 d \approx  2,44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3}

Но, подобра претпоставка е онаа која ја зема во предвид и заобленоста на главното тело и масата на сателитот :

 d \approx 2,423 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} \left( \frac{(1+\frac{m}{3M})+\frac{c}{3R}(1+\frac{m}{M})}{1-c/R} \right)^{1/3}

каде c/R е заобленоста на главното тело. Бројниот фактор е пресметан со помош на сметач.

Пресметката за порозни тела е соодветна за тела кои се порозни, како што се кометите. На пример, кометата Шумејкер–Леви 9 се распадна на помали парчиња. При следниот приод во 1994 година кометата се судри со планетата. Кометата Шумејкер–Леви 9 за првпат беше забележана во 1993 година, но нејзината орбита укажуваше дека истата била заробена од гравитацијата на Јупитер пред неколку децении.[6]

Изведување на формулата[уреди]

Случајот со порозниот сателит е понестабилен за разлика од цврстите тела, записите за сателитите се добиени со некој претпоставки кои го олеснуваат записот. Прво, да се претпостави дека објетот е нестислива течност која има постојана густина \rho_m и волумен V кои не зависат од внатрешните и надворешните сили.

Второ, да се претпостави дека сателитот се движи по кружна орбита и е во истовремена ротација со главниот објект. Ова значи дека аголната брзина \omega со која ротира околу тежиштето е иста со аголната брзина со која се движи низ системот.

Аголната брзина \omega е добиена преку Третиот Кеплеров закон:

\omega^2 = G \, \frac{M + m}{d^3}.

Кога M е многу поголемо од m, па мже записот да се сведе на:

\omega^2 = G \, \frac{M}{d^3}.

Истовремената ротација наведува на тоа дека течноста не се движи, па проблемот може да се разгледува како статички. Оттука, вискозноста и триењето на течноста во овој модел не имаат никаква важност.

Со овие претпоставки, треба да се земат во предвид следниве сили:

  • силата на гравитација од главното тело,
  • центрифугалната сила во ротирачки референтен систем,
  • гравитационото поле на сателитот.

Бидејќи сиве овие сили се конзервативни, и можат да се прикажат преку потернцијали. Може да се каже и дека површината на сателитот е еквипотенцијална. Во спротивно, разликите во потенцијалите би создале сили и движења во некои делови на површината, што се коси со претпоставката за статички модел. Со дадено растојание од главното тело, проблемот се сведува на одредување на формата која го исполнува условот за еквипотенцијалност.

Радијално растојание од една точка од површината на елипсоидот до тежиштето

Бидејќи орбитата се смета за кружна, гравитационата сила и центрифугалната сила кои дејствуваат на телото се поништуваат. Ни остануваат две сили: плимната сила и центрифугалната сила при ротација. Плимната сила зависи од местоположбата во однос на тежиштето, нешто што беше разгледано во т.н. модел на цврсто тело. За мали тела, растојанието на честичките течност од центарот на телото е мало во однос на растојанието d во однос на главното тело. Оттука плимната сила ќе биде линеаризирана, при што се добива истиот запис од погоре за FT.

Додека оваа сила кај моделот на цврсто тело зависеше од полупречникот r на сателитот, во случајот на течност треба да се земат во предвид сите точки од површината и плимната сила зависи од растојанието Δd од тежиштето до некоја дадена честичка на линијата која ги поврзува сателитот со главното тело. Δd се нарекува радијално растојание. Бидејќи плимната сила е линеарна со Δd, следи потенцијалот е пропорционален со квадратот на променливата и за m\ll M имаме

V_T = - \frac{3 G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,

Истотака, центрифугалната сила има потенцијал од:

V_C = - \frac{1}{2} \omega^2 \Delta d^2 = - \frac{G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,

за аголната брзина при ротација имаме \omega.

Треба да се определи формата на сателитот за кој збирот од гравитациониот потенцијал и VT + VC е постојан на површината на телото. Општо земено, овој проблем е тежок за решавање, но во овој случај, може да се реши со искуствено погодување на зависноста од квадратот на плимниот потенцијал од радијалното растојание Δd. Во првата претпоставка може да се занемари потенцијалот на центрифугалната сила VC и да се зема во предвид само потенцијалот на плимната сила VT.

Бидејќи потенцијалот VT се менува само во една насока, на пример насоката кон главното тело, од сателитот се очекува да завземе аксијално симетрична форма. Поточно речено, можеме да кажеме дека има форма на ротационо тело. Потенцијалот на површината на вакво тело, може да зависи од радијалното растојание до тежиштето. и навистина, пресекот на сателитот и рамнината нормална линијата која ги поврзува двете тела е диск кои по претпоставките е круг со постојан потенцијал. Ако разликата меѓу гравитациониот потенцијал и VT е постојана, двата потенцијали мора да зависат на ист начин од Δd. Со други зборови, потенцијалот мора да биде пропорционален со квадратот од Δd. Потоа може да се прикаже дека еквипотенцијалното решение е елипсоид. Со постојана густина и волумен потенцијалот на ваквото тело зависи само од ε на елипсоидот:

V_s = V_{s_{0}} + G \pi \rho_m \cdot f (\epsilon) \cdot \Delta d^2,

каде V_{s_0} е постојаната вредност на потенцијалот на пресекот со кружниот раб на телото и рамнината во централна симетрија дадена со равенството Δd=0.

Бездимензионалната функција f се определува со точното решение на потенцијалот на елипсоидот

f(\epsilon) = \frac{1 - \epsilon^2}{\epsilon^3} \cdot \left[ \left(3-\epsilon^2 \right) \cdot \mathrm{arcsinh} \left(\frac{\epsilon}{\sqrt{1-\epsilon^2}} \right) -3 \epsilon \right]

и, изненадувачки, не зависи од волуменот на на сателитот.

Графичкиот запис на бездимензионалната функција f која пакажува како силата на плимниот потенцијал зависи од екцентритетот ε на елипсоидот.

Иако експлицитната форма на функцијата f изгледа сложено, забележливо е дека можеме самостојно да ја избереме вредноста на ε за потенцијалот VT е еднаков на VS и постојана независна од променливата Δd. Ова се случува кога,

\frac{2 G \pi \rho_M R^3}{d^3} = G \pi \rho_m f(\epsilon)

Оваа равенка може да се реши нумерички. На гравикот е покажано дека има две решенија и помалото ја прикажува стабилната рамнотежна форма (елипсоидот со помал екцентритет). Ова решение го определува екцентритетот на плимниот елипсоид како функција од растојанието до главното тело. Изводот од функцијата f има вредност нула каде се постигнува најголемиот екцентритет. Ова е во согласност со Рошеовата граница.

Изводот од f го одредува максималниот екцентритет. Одовде се добива Рошевата граница.

Попрецизнo кажано, Рошеовата граница е определена од фактот дека функцијата f, која може да се претстави како нелинеарна мерка на силата која го притиска елипсиодот кон сферна форма, е сврзана така да имаме екцентритет на кој собирната сила го достигнува максимумот. Бидејќи олимната сила се зголемува кога сателитот се приближува кон главното тело, станува јасно дека на критично растојание елипсоидот ќе биде растргнат.

Максмималниот екцентритет може да се пресмета нумерички како нулка од изводот на f'. И се добива:

\epsilon_\textrm{max}\approx 0{,}86

соодветно на односот на оските на елипсоидот 1:1.95. Внесувајќи го ова во равенката за функцијата f може да се определи минималното растојание на кој елипсоидот би постоел како таков. Ова е Рошеовата граница,

d \approx 2{,}423 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,.

Изнанедувачки е дека, вклучувањето на центрифугалната сила има мало влијание, па за објектот може да се каже дека станува Рошев елипсоид, општо кажано триосен елипсоид каде оските имаат различни должини. Потенцијалот станува посложена функција од должините на оските, па се воведуваат елиптични функции. Решението се бара само по плимната сила и се добива :

d \approx 2{,}455 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,.

Односите на поларната оска во однос на орбитално насочената оска е 1:1,06:2,07.

Рошеови граници за одбрани примери[уреди]

Табелата долу ја покажува густината и екваторијалниот радиус за одбрани објекти од Сончевиот систем.

Име на објект Густина (кг/м3) Полупречник (м)
Сонце 1.408 696.000.000
Јупитер 1.326 71.492.000
Земја 5.513 6.378.137
Месечина 3.346 1.738.100
Сатурн 687 60.268.000
Уран 1.318 25.559.000
Нептун 1.638 24.764.000

Со употреба на овие податоци, Рошеовите граници може да се пресметаат за цврсти и порозни тела. Просечната густина на кометите е отприлика околу 500 кг/м3.

Табелата подолу ги претставува вредностите за Рошеовите граници изразени во километри и полупречници. Вистинската вредност на Рошеовата граница на сателитот зависи од густината и цврстината.

Тело Сателит Рошеова граница (цврсто) Рошеова граница (порозно)
Растојание (км) R Растојание (км) R
Земја Месечина 9.496 1,49 18.261 2.86
Земја просечна комета 17.880 2,80 34.390 5.39
Сонце Земја 554.400 0,80 1.066.300 1.53
Сонце Јупитер 890.700 1,28 1.713.000 2.46
Сонце Месечина 655.300 0,94 1.260.300 1.81
Сонце просечна комета 1.234.000 1,78 2.374.000 3,42

Коклу блиски се месечините во Сончевиот систем до нивните Рошеови граници? Табелата подолу дава односи од вредностите на орбиталниот полупречник на секој сателит со сопствениот Рошеов полупречник. Истовремено пресметките се дадени за цврстите и порозните тела. Забележете дека Пан, Корделија и Најада, всушност се мошне блиску до своите точки на распад.

Во реалноста, густините на повеќето сателите на џиновските сателити не се познати. Во овие случаи прикажани со закосеност, вредностите се претпоставки, и нивните Рошеови граници се менуваат во зависност од вредноста која е земена во пресметката.


Тело Сателит Орбитален полупречник / Рошеова граница
(цврсто) (порозно)
Сонце Меркур 104:1 54:1
Земја Месечина 41:1 21:1
Марс Фобос 172% 89%
Дејмос 451% 234%
Јупитер Метида ~186% ~94%
Адрастреја ~188% ~95%
Алматеја 175% 88%
Теба 254% 128%
Сатурн Пан 142% 70%
Атлас 156% 78%
Прометеј 162% 80%
Пандора 167% 83%
Епиметеј 200% 99%
Јанус 195% 97%
Уран Корделија ~154% ~79%
Офелија ~166% ~86%
Бјанка ~183% ~94%
Кресида ~191% ~98%
Дездемона ~194% ~100%
Јулија ~199% ~102%
Нептун Нијада ~139% ~72%
Таласа ~145% ~75%
Деспина ~152% ~78%
Галатеја 153% 79%
Лариса ~218% ~113%
Плутон Харон 12.5:1 6.5:1

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]