Поасонов распоред

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Поасонов
Веројатносна функција (маса)
График на Поасоновата веројатносна функција
Хоризонталната оска е показателот k - бројот на јавувања. Функцијата е зададена само за целобројни вредности на k. Кривите линии што ги поврзуваат служат само како водилка за окото.
Rаспоредна функција
PГрафик на Поасоновата распоредна функција
Хоризонталната оска е показателот k - бројот на јавувања. The распоредната функција прекинува во целите броеви на k, а на другите места е рамна поради тоа што Поасоново-распоредената променлива прима само целобројни вредности.
запис: \mathrm{Pois}(\lambda)\,
Pараметри: λ > 0 (реални)
носач: k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Веројатносна функција: \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}
Распоредна функција: \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\! --or-- e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\

(for k\ge 0, при што \Gamma(x, y)\,\! is непотполната гама-функција, а \lfloor k\rfloor е подна функција)

средина: \lambda\,\!
Медијана: \approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
Модус: \lfloor\lambda\rfloor,\,\lceil\lambda\rceil - 1
Варијанса: \lambda\,\!
Асиметрија: \lambda^{-1/2}\,
Вишок испакнатост: \lambda^{-1}\,
Ентропија: \lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}

(за голема \lambda) \frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -
                     \frac{19}{360 \lambda^3} + O(\frac{1}{\lambda^4})

МТФ: \exp(\lambda (e^{t}-1))\,
КФ: \exp(\lambda (e^{it}-1))\,
ВТФ:  \exp(\lambda(z - 1))\,

Под поимот Поасонов распоред подразбираме систем кој ја искажува веројатноста да се случат одреден број на настани во одреден временски интервал или во одреден простор доколку овие настани се случуваат во одредена просечна стапка и независно од времето поминато од последниот настан.[1] Пр. да претпоставиме дека секојдневно на е-пошта добиваме по 4 писма. Според ова ние ги градиме нашите очекувања, но сепак, ќе се појават промени во бројката на примени меилови на дневна база, некогаш поголеми, некогаш помали, а некогаш нема ниту воопшто да се појават промени. [2] Историската позадина зад Поасоновиот распоред е објаснета од Гулберг во 1997 година.[3]



Историски развиток[уреди]

Овој концепт е создаден од Симеон Дени Поасон (1781-1840) и публикуван заедно со неговата теорија на веројатноста во 1837 во неговото дело „Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile“.[4] Ова дело е насочено кон објаснување на случајните променливи N преку кои се пресметува и бројот на одделни настани кои се случуваат во одреден временски период и во одреден простор.

Резултатите биле претставени и претходно од страна на Абрахам де Моавр (1711) во „De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus“. 1Практична примена на овој концепт била направена и од страна на познатиот научник Ладислав Боркиевич во 1898 кога му била дадена задача да го истражи бројот на мртви војници на Пруската армија усмртени случајно од удар на коњ, а овој експеримент го доведе Поасоновиот распоред во полето на областа на сигурносниот инженеринг.[5]


Пресметување на Поасоновиот распоред[уреди]

За да ја пресметаме величината на Поасоновиот распоред ја користиме следната формула :


f(k;\lambda)=\Pr(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda} }{k!}

каде :

  1. . е =база на природниот логаритам,
  2. . к! е факториел од к,
  3. . λ= λТ кога бројот на интервали се одвива во временска единица T=1.

Позитивниот реален број λ=очекуваната вредност на X, а исто и на неговата променлива, така ја добиваме формулата :

\lambda=\operatorname{E}(X)=\operatorname{Var}(X)


Случаен процес е семејство на случајни променливи (Xt), tL за кое Т е некој бесконечен збир. Со t овде го означуваме времето. За T најчесто го земаме интервалот [0, +∞) или некој подзбир на овој интервал. Поасоновиот збир e случаен процес зададен од збирот T=[0, +∞) ако за него важи:

  1. .P(X0=0)=1,
  2. .Xt-Xs i Xv-Xu,
  3. .s,t (s<t)

Случајниот процес го нарекуваме стационарен ако неговите конечни димензионални распределби се инваријантни во однос на времето. Овој случај го иразуваме со формулата:

(Xt_1,Xt_2,\ldots,Xt_n)i(Xt_1+s,Xt_2+s,\ldots,Xt_n+s)


Изведување на Поасоновиот Распоред[уреди]

Поасоновиот распоред се изведува на тој начин што се разгледуваат според бројот на настани λ(позитивен број) кои се случуваат во одреден интервал.

Интервалот е поделен на n субинтервали изразени со формулата :

I_1,\ldots,I_n

Карактеристично за сите овие интервали е што имаат еднаква вредност.

Можноста еден настан да се случи во субинтервалот Ik за секое k е еднаков на λ/n.

Бројот на вкупните X настани ќе биде изведен на биномeн начин со параметри n и λ/n.

Потоа доколку n се зголеми ќе ја добиеме формулата :

B(n,\lambda/n)

Со ова го добиваме Поасоновиот распоред со параметар λ.

Во одредени настани n е со многу голема вредност ,а p со многу мала вредност .

Во овој случај Поасоновиот распоред го пресметуваме со формулата :

X\sim\operatorname{Pois}(np)

Правилото да се случуваат вакви настани е наречено законот за ретки настани.

Можности за пресметување[уреди]

Во математичката теорија се појавуваат повеќе случаи каде се применуваат различни методи на решавање :

1.Пресметување на прави

-Очекуваната вредност на променливата на Поасоновиот распоред е еднаква на λ (позитивен реален број), а еднаква е и на варијациите на овој број

-Коефициентот на варијација е λ-1 /2, додека показателот на дисперзија е еднаков на 1

Девијацијата на правата во однос на Поасоновиот распоред ја пресметуваме со формулата:

\operatorname{E}\vert X-\lambda\vert=2\exp(-\lambda)\frac{\lambda^{\lfloor\lambda\rfloor+1} }{\lfloor\lambda\rfloor!}

2.Пресметување на медијана

Граничните вредности на медијаната (v) од дистрибуцијата се претставени со формулата:

\lambda-\ln 2\le\nu<\lambda+\frac{1}{3}

3.Пресметување на поважни моменти

Поважните моменти во Поасоновиот распоред ги претставуваме со Mk и по нивното потекло тие претставуваат експоненцијални полиноми за λ(позитивен број) и се изразуваат со формулата:

m_k=\sum_{i=1}^k\lambda^i\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}

Коефициентите на полиномите имаат комбинирано значење.

4.Други пресметки на дистрибуција

-Поасоновиот распоред е неограничено диверзен модел и постојат голем број на различни настани и променливи кои можат да се разгледуваат

-Директната дивергенција на Кулбег и Либлер за Pois ( λ0) и Pois( λ) е дадена со формулата:

D_\text{KL}(\lambda\Vert\lambda_0)=\lambda_0-\lambda+\lambda\log\frac{\lambda}{\lambda_0}

[6]

Апликација на Поасонов Распоред[уреди]

Апликацијата на Поасоновиот распоред, може успешно да ни ги даде веројатностите на бројот на јавувања на некој настан во единица време и простор, а за тоа да се случи постојат и одредени услови за пресметување на Поасоновиот процес:

  • Бројот на јавувањата на настаните е независен од една до друга единица на време или простор.
  • Веројатноста на јавување на некој настан е пропорционална со должината на определената единица време и простор.
  • Веројатноста на истовременото јавувње на два или повеќе настани во сосема мала единица на време или простор е занемарувачки мала.
  • Се пресметува само колку настани се случиле, а се игнорира бројката на настани кои не се случиле.

Овој последен услов ни ја претставува разликата на Поасоновиот распоред со Биноминален распоред во која бројот на настани помеѓу две вредности кои се во сооднос (p и q) е познат и ни покажува колкав е бројот на настани кои се случиле и колкав е бројот на настани кои не се случиле. Главната карактеристика на Поасоновиот распоред е асиметријата и оваа карактеристика останува константна без разлика на промената на вредноста на r. Поради ова Поасоновиот распоред е наречен Биномен распоред без настанот q.

Поасоновиот распоред е поврзан и со други распореди освен Биномниот:

-Хипергеометриски распоред

-Експоненцијален распоред

Поради своите врски со овие видови на распореди можеме да заклучиме дека Поасоновиот распоред е екстремен случај од сите нив. Кога постои случајност кај настаните испитувани со Поасонов распоред ние всушност нив ги класифицираме како настани кои го сочинуваат Поасоновиот распоред. Доколку резултатите се премногу различни и комплексни за анализа тогаш се истражува причината.

Апликација на Поасоновиот распоред имаме во повеќе полиња поврзани со пресметување :

-Електрични системи

-Астрономија

-Биологија

-Менаџмент

-градежно инженерство

-Финансии

-Осигурување

-Сеизмологија

-Радиоактивност

Примери за настани кои се пресметувале/пресметуваат со Поасонов распоред се следните :

-Бројот на војници убиени од страна на случаен удар од коњ во Пруската армија

-Бројот на повици кои доаѓаат во центарот за повици во текот на една минута

-Бројот на поени во одреден спорт со вклучување на два противнички тима во одреден временски период

-Број на смртни случаи во текот на една година пресметан за одредена старосна група

-Бројот на промени на ДНА информации под одредено дејство на радијација

-Бројот на скокови на вредноста на акциите на берзата во одреден временски период

[7]

Мултидимензионален Поасонов распоред[уреди]

Поасоновиот распоред расте доколку распоредот на пресметувања во мултидимензионален интервал и мултидимензионален Поасонов процес во еквивалентност со резултатот еднодимензионалните распореди. Мултидимензионалниот Поасонов распоред можеме да го пресметаме со формулата:

P(N(D)=k)=\frac{(\lambda\vert D\vert)^k e^{-\lambda\vert D\vert} }{k!}

каде :

  • D е просторот,
  • IDI е простор во одреден регион, и
  • N(D) е бројот на настани во D(просторот)

Наводи[уреди]

  1. Frank A. Haight (1967). „Handbook of the Poisson Distribution“. New York: John Wiley & Sons. 
  2. „Statistics | The Poisson Distribution“. Umass.edu. 24 август 2007. http://www.umass.edu/wsp/statistics/lessons/poisson/index.html. конс. 5 април 2012. 
  3. Gullberg, Jan (1997). „Mathematics from the birth of numbers“. New York: W. W. Norton. стр. 963–965. ISBN 0-393-04002-X. 
  4. S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), page 206.
  5. Ladislaus von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen [The law of small numbers] (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898). On page 1, Bortkiewicz presents the Poisson distribution. On pages 23–25, Bortkiewicz presents his famous analysis of "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Example: Those killed in the Prussian army by a horse's kick.).
  6. ^ E. L. Lehmann (1986). Testing Statistical Hypotheses (second ed.). New York: Springer Verlag.
  7. E. L. Lehmann (1986). Testing Statistical Hypotheses (second ed.). New York: Springer Verlag.

Надворешни врски[уреди]