Неравенство на Чебишев

Неравенството на Чебишев се изучува во теоријата на веројатност. Оваа теорема покажува дека веројатноста една случајна променлива $X$ со средна вредност $\eta$ и варијанса ${\sigma}^2$ да биде надвор од произволен интервал $(\eta-\epsilon, \eta+\epsilon)$ е произволно мала ако односот ${\sigma}/{\epsilon}$ е доволно мал.

Теорема

Нека $X$ e случајна променлива со средна вредност $\eta$ и варијанса ${\sigma}^2$. Тогаш за секое $\epsilon > 0$ важи неравенството:

$P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} \le \frac{{\sigma}^2}{{\epsilon}^2}$

Доказ

Нека со $f(x)$ ја означиме функцијата на густина на веројатност на случајната променлива $X$. Тогаш доказот на теоремата се заснова на следниот факт:

$P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = \int_{-\infty}^{-\eta-\epsilon} f(x)\,dx + \int_{\eta+\epsilon}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} f(x)\,dx$

Навистина,

${\sigma}^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta)^2 f(x)\,dx \ge \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} (x-\eta)^2 f(x)\,dx \ge {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} f(x)\,dx$

од што следува неравенството со оглед на тоа што последниот интеграл е еднаков на $P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \}$.

Видете исто така

• Пафнути Чебишев
• Неравенство на Марков
• Неравенство на Биенаме
• Неравенство на Љапунов

Литература

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002.