Неравенство на Чебишев

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Неравенството на Чебишев се изучува во теоријата на веројатност. Оваа теорема покажува дека веројатноста една случајна променлива  X со средна вредност  \eta и варијанса  {\sigma}^2 да биде надвор од произволен интервал  (\eta-\epsilon, \eta+\epsilon) е произволно мала ако односот  {\sigma}/{\epsilon} е доволно мал.

Теорема[уреди]

Нека  X e случајна променлива со средна вредност  \eta и варијанса  {\sigma}^2 . Тогаш за секое  \epsilon > 0 важи неравенството:


P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} \le \frac{{\sigma}^2}{{\epsilon}^2}


Доказ[уреди]

Нека со  f(x) ја означиме функцијата на густина на веројатност на случајната променлива  X . Тогаш доказот на теоремата се заснова на следниот факт:

 
P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = \int_{-\infty}^{-\eta-\epsilon} f(x)\,dx + \int_{\eta+\epsilon}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} f(x)\,dx

Навистина,

 
{\sigma}^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta)^2 f(x)\,dx \ge \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} (x-\eta)^2 f(x)\,dx \ge {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} f(x)\,dx

од што следува неравенството со оглед на тоа што последниот интеграл е еднаков на  P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} .


Видете исто така[уреди]

Литература[уреди]

  • A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002.