Неравенство на Марков

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Неравенството на Марков се изучува во теоријата на веројатност. Ова неравенство ја дава горната граница на веројатноста дека една ненегативна случајна променлива е поголема или еднаква на дадена позитивна константа.

Теорема[уреди]

Нека  X е случајна променлива со функција на густина на веројатност  f(x) , таква што  f(x) = 0 за  x \le 0 . Тогаш за произволен позитивен реален број  \alpha > 0 важи неравенството:


P\{ X \ge \alpha \} \le \frac{\eta}{\alpha}

каде  \eta е средната вредност на случајната променлива  X .


Доказ[уреди]

Доказот следи од:


\eta = E\{ X \} = \int_{0}^{\infty} xf(x)dx \ge \int_{\alpha}^{\infty} xf(x)dx \ge \alpha \int_{\alpha}^{\infty} f(x)dx

земајќи дека последниот интеграл е еднаков на веројатноста  P\{ X \ge \alpha \} .


Наводи[уреди]

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002


Видете исто така[уреди]