Неравенство на Марков

Неравенството на Марков се изучува во теоријата на веројатност. Ова неравенство ја дава горната граница на веројатноста дека една ненегативна случајна променлива е поголема или еднаква на дадена позитивна константа.

Теорема

Нека $X$ е случајна променлива со функција на густина на веројатност $f(x)$, таква што $f(x) = 0$ за $x \le 0$. Тогаш за произволен позитивен реален број $\alpha > 0$ важи неравенството:

$P\{ X \ge \alpha \} \le \frac{\eta}{\alpha}$

каде $\eta$ е средната вредност на случајната променлива $X$.

Доказ

Доказот следи од:

$\eta = E\{ X \} = \int_{0}^{\infty} xf(x)dx \ge \int_{\alpha}^{\infty} xf(x)dx \ge \alpha \int_{\alpha}^{\infty} f(x)dx$

земајќи дека последниот интеграл е еднаков на веројатноста $P\{ X \ge \alpha \}$.

Наводи

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Видете исто така

• Андреј Марков
• Неравенство на Чебишев
• Неравенство на Биенаме
• Неравенство на Љапунов