Матрица (математика)

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Статии поврзани со линеарната алгебра
Теорија на матрици

Матрица
Детерминанта

Системи линеарни равенки

Линеарна равенка
Систем линеарни равенки
Крамерово правило
Кронекер-Капелиева теорема

Линеарни пресликувања и векторски простори

Вектор, Скалар
Векторски простор
Линеарна зависност
Линеарно пресликување
Спектрална теорема

Останати статии

Скаларен производ
Векторски производ
Аналитичка геометрија

Во математиката, под поимот матрица се подразбира правоаголната шема:

A=
\begin{bmatrix}
  a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
  a_{21} &  a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  a_{m1} &  a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}_{m\times n}
=\left[ a_{ij} \right]_{m\times n}

која е составена од m\cdot n елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редици на матрицата, додека вертикалните колони. Матрицата погоре има m редици и n колони. За таа матрица велиме дека е од ред m×n (читај ем-по-ен).

Елементите на матрицата може да бидат броеви, но и не мора. Матриците чии елементи се броеви се викаат бројни матрици.

Операции со матрици[уреди]

Над матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и, под одредени услови, множење. Делење на матрици не се извршува.

  • Собирањето и одземањето се врши по членови и тоа само кај матрици од ист ред. Нека A=\left[ a_{ij} \right]_{m\times n} и B=\left[ b_{ij} \right]_{m\times n} се две матрици од ист ред. Тогаш, ако C=\left[ c_{ij} \right]_{m\times n} е матрица за која важи:
\ C=A+B

тогаш важи:

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m, \,\,\,\ j=1,2,...n


Слично, ако \ C=A+B, тогаш важи:

c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}, \,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m, \,\,\,\ j=1,2,...n

Практочно, тоа изгледа вака:


\begin{bmatrix}
  a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
  a_{21} &  a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  a_{m1} &  a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
  b_{11} &  b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
  b_{21} &  b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  b_{m1} &  b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
  a_{11}+b_{11} &  a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
  a_{21}+b_{21} &  a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  a_{m1}+b_{m1} &  a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{bmatrix}

Слично се постапува при одземање.

  • Множењето се врши само кај матрици за кои важи: матрицата која е прв множител мора да има ист број колони колку што редици има матрицата која е втор множител. Матрицата-производ добиена со множењето е има редици колку првиот множител и колони колку и вториот множител. Следствено, множењето матрици не е комутативно; комутативниот закон важи само ако матриците имаат по ист број редици и колони. Поинаку кажано: нека A=\left[ a_{ij} \right]_{m\times n} и нека B=\left[ b_{ij} \right]_{p\times q}. Тогаш производот \ C=A\cdot B постои ако и само ако n = p. После множењето, доколку тоа може да се изврши, ќе се добие матрица C=\left[ c_{ij} \right]_{m\times q}.

Самото множење се врши редица-по-колона. Нека се A=[a_{ij}]_{m\times n}, \,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}. Тогаш за производот C=A\cdot B имаме:


\begin{bmatrix}
  a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
  a_{21} &  a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  a_{m1} &  a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
  b_{11} &  b_{12} & \cdots & b_{1q} \\
  b_{21} &  b_{22} & \cdots & b_{2q} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  b_{n1} &  b_{n2} & \cdots & b_{nq}
\end{bmatrix}=

=
\begin{bmatrix}
  a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+ \cdots a_{1n}b_{n1} &  a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+ \cdots a_{1n}b_{n2} & \cdots & a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+ \cdots a_{1n}b_{nq} \\
  a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+ \cdots a_{2n}b_{n1} &  a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+ \cdots a_{2n}b_{n2} & \cdots & a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+ \cdots a_{2n}b_{nq} \\
  \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
  a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+ \cdots a_{mn}b_{n1} &  a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+ \cdots a_{mn}b_{n2} & \cdots & a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+ \cdots a_{mn}b_{nq} \\
\end{bmatrix}
Во општ случај, поради гломазноста на изразот, се бележи: A\cdot B=C=\left[ c_{ij} \right]_{m\times q} \Leftrightarrow c_{ij}= \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}, \,\,\ i=1,2,...,m \,\,\,\,\ j=1,2,...,q

Примери[уреди]

Нека се дадени матриците:

A=
\begin{bmatrix}
  1 &  5 \\
  7 &  3 \\
  4 &  0 \\ 
\end{bmatrix}_{3\times 2}

B=
\begin{bmatrix}
  -1 &  3 & 0 &  2 \\
   0 & -3 & 1 & -4 \\
\end{bmatrix}_{2\times 4}

C=
\begin{bmatrix}
  -7 &  1 \\
   5 &  0 \\
  3 &  -6 \\ 
\end{bmatrix}_{3 \times 2}

Тогаш:

A+C=
\begin{bmatrix}
  1 &  5 \\
  7 &  3 \\
  4 &  0 \\ 
\end{bmatrix}_{3\times 2}
+
\begin{bmatrix}
  -7 &  1 \\
   5 &  0 \\
  3 &  -6 \\ 
\end{bmatrix}_{3 \times 2}
=
\begin{bmatrix}
  1+(-7) &  5+1 \\
  7+5 &  3+0 \\
  4+3 &  0+(-6) \\ 
\end{bmatrix}_{3 \times 2}
=
\begin{bmatrix}
  -6 &  6 \\
   12 &  3 \\
  7 &  -6 \\ 
\end{bmatrix}_{3 \times 2}


A\cdot B=
\begin{bmatrix}
  1 &  5 \\
  7 &  3 \\
  4 &  0 \\ 
\end{bmatrix}_{3\times 2}
\cdot
\begin{bmatrix}
  -1 &  3 & 0 &  2 \\
   0 & -3 & 1 & -4 \\
\end{bmatrix}_{2\times 4}

=
\begin{bmatrix}
  1\cdot (-1)+5\cdot 0 &  1\cdot 3+5\cdot (-3) & 1\cdot 0+5\cdot 1 & 1\cdot 2+5\cdot (-4) \\
  7\cdot (-1)+3\cdot 0 &  7\cdot 3+3\cdot (-3) & 7\cdot 0+3\cdot 1 & 7\cdot 2+3\cdot (-4) \\
  4\cdot (-1)+0\cdot 0 &  4\cdot 3+0\cdot (-3) & 4\cdot 0+0\cdot 1 & 4\cdot 2+0\cdot (-4) \\
\end{bmatrix}_{3 \times 4}
=
\begin{bmatrix}
  -1 & -12 & 5 & -18 \\
  -7 &  12 & 3 & 2 \\
  -4 &  12 & 0 & 8 \\ 
\end{bmatrix}_{3 \times 4}

Специјални матрици[уреди]

Нека A=[a_{ij}]_{m\times n} е произволна матрица

  • Матрицата A^T = [a_{ji}]_{n\times n} се вика транспонирана матрица на матрицата A.
  • Ако m=n, тогаш матрицата A=[a_{ij}]_{n\times n} се вика квадратна матрица.

Надворешни врски[уреди]