Матрица (математика)

Статии поврзани со линеарната алгебра

Теорија на матрици

Матрица Детерминанта

Системи линеарни равенки

Линеарна равенка Систем линеарни равенки Крамерово правило Кронекер-Капелиева теорема

Линеарни пресликувања и векторски простори

Вектор, Скалар Векторски простор Линеарна зависност Линеарно пресликување Спектрална теорема

Останати статии

Скаларен производ Векторски производ Аналитичка геометрија Портал: Математика

Во математиката, под поимот матрица се подразбира правоаголната шема:

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m\times n} =\left[ a_{ij} \right]_{m\times n}$

која е составена од $m\cdot n$ елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редици на матрицата, додека вертикалните колони. Матрицата погоре има m редици и n колони. За таа матрица велиме дека е од ред m×n (читај ем-по-ен).

Елементите на матрицата може да бидат броеви, но и не мора. Матриците чии елементи се броеви се викаат бројни матрици.

Операции со матрици

Над матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и, под одредени услови, множење. Делење на матрици не се извршува.

• Собирањето и одземањето се врши по членови и тоа само кај матрици од ист ред. Нека $A=\left[ a_{ij} \right]_{m\times n}$ и $B=\left[ b_{ij} \right]_{m\times n}$ се две матрици од ист ред. Тогаш, ако $C=\left[ c_{ij} \right]_{m\times n}$ е матрица за која важи:

$\ C=A+B$

тогаш важи:

$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m, \,\,\,\ j=1,2,...n$

Слично, ако $\ C=A+B$, тогаш важи:

$c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}, \,\,\,\,\,\,\ i=1,2,...m, \,\,\,\ j=1,2,...n$

Практочно, тоа изгледа вака:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\ \end{bmatrix}$

Слично се постапува при одземање.

• Множењето се врши само кај матрици за кои важи: матрицата која е прв множител мора да има ист број колони колку што редици има матрицата која е втор множител. Матрицата-производ добиена со множењето е има редици колку првиот множител и колони колку и вториот множител. Следствено, множењето матрици не е комутативно; комутативниот закон важи само ако матриците имаат по ист број редици и колони. Поинаку кажано: нека $A=\left[ a_{ij} \right]_{m\times n}$ и нека $B=\left[ b_{ij} \right]_{p\times q}$. Тогаш производот $\ C=A\cdot B$ постои ако и само ако $n = p$. После множењето, доколку тоа може да се изврши, ќе се добие матрица $C=\left[ c_{ij} \right]_{m\times q}$.

Самото множење се врши редица-по-колона. Нека се $A=[a_{ij}]_{m\times n}, \,\,\ B=[b_{ij}]_{n\times q}$. Тогаш за производот $C=A\cdot B$ имаме:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}=$

$= \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+ \cdots a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+ \cdots a_{1n}b_{n2} & \cdots & a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+ \cdots a_{1n}b_{nq} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+ \cdots a_{2n}b_{n1} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+ \cdots a_{2n}b_{n2} & \cdots & a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+ \cdots a_{2n}b_{nq} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+ \cdots a_{mn}b_{n1} & a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+ \cdots a_{mn}b_{n2} & \cdots & a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+ \cdots a_{mn}b_{nq} \\ \end{bmatrix}$ Во општ случај, поради гломазноста на изразот, се бележи: $A\cdot B=C=\left[ c_{ij} \right]_{m\times q} \Leftrightarrow c_{ij}= \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}, \,\,\ i=1,2,...,m \,\,\,\,\ j=1,2,...,q$

Примери

Нека се дадени матриците:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}_{3\times 2} B= \begin{bmatrix} -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 1 & -4 \\ \end{bmatrix}_{2\times 4} C= \begin{bmatrix} -7 & 1 \\ 5 & 0 \\ 3 & -6 \\ \end{bmatrix}_{3 \times 2}$

Тогаш:

$A+C= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}_{3\times 2} + \begin{bmatrix} -7 & 1 \\ 5 & 0 \\ 3 & -6 \\ \end{bmatrix}_{3 \times 2} = \begin{bmatrix} 1+(-7) & 5+1 \\ 7+5 & 3+0 \\ 4+3 & 0+(-6) \\ \end{bmatrix}_{3 \times 2} = \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ 12 & 3 \\ 7 & -6 \\ \end{bmatrix}_{3 \times 2}$

$A\cdot B= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}_{3\times 2} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 1 & -4 \\ \end{bmatrix}_{2\times 4}$

$= \begin{bmatrix} 1\cdot (-1)+5\cdot 0 & 1\cdot 3+5\cdot (-3) & 1\cdot 0+5\cdot 1 & 1\cdot 2+5\cdot (-4) \\ 7\cdot (-1)+3\cdot 0 & 7\cdot 3+3\cdot (-3) & 7\cdot 0+3\cdot 1 & 7\cdot 2+3\cdot (-4) \\ 4\cdot (-1)+0\cdot 0 & 4\cdot 3+0\cdot (-3) & 4\cdot 0+0\cdot 1 & 4\cdot 2+0\cdot (-4) \\ \end{bmatrix}_{3 \times 4}$ $= \begin{bmatrix} -1 & -12 & 5 & -18 \\ -7 & 12 & 3 & 2 \\ -4 & 12 & 0 & 8 \\ \end{bmatrix}_{3 \times 4}$

Специјални матрици

Нека $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ е произволна матрица

• Матрицата $A^T = [a_{ji}]_{n\times n}$ се вика транспонирана матрица на матрицата $A$.
• Ако m=n, тогаш матрицата $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ се вика квадратна матрица.

Надворешни врски

• Матрици - Математика за сите (македонски)
• Специјални матрици - Математика за сите (македонски)