Веројатносен распоред

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Дискретен веројатносен распоред на збир од две коцки

Веројатносен распоред — односот помеѓу вредностите кои ги зема случајната променлива и нивните веројатности. Распоредот на веројатностите може да биде униваријатна и мултиваријантна. Униваријантниот распоред ги дава веројатностите на една случајна променива да преземе разни алтернативни вредности. Мултиваријантниот распоред ги дава веројатностите на еден случаен вектор – збир на два или повеќе случајни променливи – преземање разни вредносни комбинации. Од униваријантните распореди на веројатност најчесто се среќаваат и се многу важни слендиве: биномна веројатност, хипергеометриска веројатност и нормалниот распоред.

Вовед[уреди]

За да го дефинираме распоредот на веројатностите за наједноставните случаи, најпрво треба да правиме разлика помеѓу прекинатата и непрекинатата случајна променлива.

Прекината случајна променлива[уреди]

Ако променливата X случајно може да земе една од вредностите x1, x2, xn, со соодветни веројатности ( релативни фреквенции ) p1, p2,… , pn при што p1+ p2+… + pn = 1 во тој случај X претставува прекината случајна променлива.

Распоред на веројатностите[уреди]

Односот помеѓу вредностите кои ги зема случајната променлива и веројатностите со кои тие вредности ги зема се нарекува распоред ( закон или функција ) на веројатностите на случајната променлива. Во општ распоредот на веројатностите на прекината случајна променлива може да се дефинира како збир на паровите на вредности со соодветни веројатности, при што збирот на сите веројатности е 1.

Распоред на веројатноста на Прекинатата случајан променлива
Различни вредности на X x1, x2…., xn
Веројатности P( X ) p1, p2, … , pn

каде што Σpi = 1

Коцки

Пример: Фрлање на две коцки, за појавување на страните на коцките означени со 6, случајната променлива X може да ги земе вредностите 0,1 и 2. Веројатноста случајната променлива X да земе некоја од наведните вредности ќе ја означиме со P(X = xi) = pi. Значи,

ниеден

Графичката интерпретација на законот на веројатностите на прекината случајна променлива најчесто се врши со помош на дијаграмот на веројатностите или со т.н. хистограм на веројатностите.


Дијаграм на веројатностите
Хистограм на веројатностите


Општите карактеристики на сите прекинати случајни променливи: Ниту една веројатност во распоредот на веројатностите не може да биде негативна, т.е.

  • P( X = xi ) ≥ 0 za секое i
  • Збирот на веројатностите кои одговараат на сите вредности на случајната променлива мора да биде еднакво на 1, т.е. ∑ pi= 1

Функција на распоред[уреди]

Функција на распоред претставува кумулативна функција на законот (распоредот) на веројатностите на случајната променлива. функцијата на распоредот на распоредот на случајната променлива X се означува со F(x) и е дадена со веројатноста

Функција на распоред F(x) = P( X ≤ x ) каде што x може да биде било кој реален број. Кај прекинатата aлеаторна променлива X, која зема вредности x1, x2, … , xн функцијата на распоредот е F(x) = P( X ≤ x ) = P( X = x1 ) + P(X = x2 ) + … + P(X=xn ) = ∑pi = 1

Секоја функција на распоредот мора да ги задоволи следните математички карактеристики:

  1. за која било вредност а, 0 ≤ F(a) ≤ 1 што е и разбирливо, бидејќи тоа е функција на распоредот на веројатностите;
  2. F(- ∞) = 0 и F(+ ∞) = 1 бидејќи F( -∞) = P(X ≤ -∞) е неможен настан , а F(+∞) = P(X ≤ +∞) е сигурен настан;
  3. ако а < b тогаш F(a) ≤ F(b) т.е. функцијата на распоредот на било која случајна променлива е неопаѓачка функција.Функцијата на распоредот за прекинатата алеатрна променлива X се добива со кумулирање на веројатностите. Функцијата на распоредот за дадена вредност x на случајната променлива X ја претставува веројатноста случајната променлива X да ги земе сите вредности помали или еднакви на таа вредност x.

Функцијата на распоред на веројатност на прекината случајна променлива мора да ги задоволува следниве две својства.

  1. 0 ≤ P( x ) ≤ 1 за која било вредност на x и
  2. Збирот на поединечните веројатности е 1 , односно

∑ P( x ) = 1 каде што ознаката покажува збир на сите можни вредности на x.

Oчекувана вредност - (математичкото очекување ) на прекинатата случајна променлива X е еднаква на збирот од производот на секоја можна вредност на X и соодветните веројатности, односно Очекувана вредност на прекината случајна променлива ∑(X) = ∑xi pi

Варијанса- просек на квадратите на отстапувањата на вредностите на случајната променлива X од нејзината очекувана вредност.

Модели на прекинати распореди на веројатноста[уреди]

Под модел на распоредот се подразбира функционалната врска помеѓу вредностите на случајната променлива и соодветните веројатности, дефинирана со определен тип на функција. Кај прекинатата случајна променлива моделот на распоредот претставува функционална врска помеѓу вредностите x1, x2, … , xn, и соодветните веројатности p1, p2, …, pn односно pi = f(xi) каде што i = 1,2, … , n. Кај непрекинатат случајна променлива функционалната врска се сведува на законот на веројатностите дефинирани со функцијата f(x) за секое x во интервалот ( a,b).

Најпознати модели на прекинати распореди на веројатностите се:

Биномен распоред – во применетата статистика најчесто употребуван прекинат распоред е биномниот распоред. За негово поцелосно согледување ќе го објасниме Bernoulli-евиот распоред. Bernoulli-евиот модел на распоред го карактеризира случајната променлива X која може да земе само една од алтернативните вредности:0 е q ,а вредноста 1 е p, притоа p+q = 1.

x 0 1
p 1-p p

Параметрите на Bernoulli- распоред се:

  1. Очекувана вредност. E(X) = M = p.
  2. Варијанса:

Bernoulli -евиот модел на распоред е дефиниран само со еден параметар: p. Секој опит резултира во еден од двата можни исходи “успех” и “неуспех”. Таквиот опит кој може да продуцира само со две резултати се нарекува Бернулиев опит.

Непрекинати распореди на веројатноста[уреди]

Распоредот на веројатностите на непрекинатата случајна променлива x претставува функција оф f(x) . За секоја вредност на непрекинатата случајна променлива x во интервалот ( a,b ) ,функцијата f(x) е поголема од 0 . Непрекинатата случајна променлива x не може да земе една определена вредност (P(X=x)), ако се има предвид фактот дека такви вредности има бесконечно многу , и оттаму таа веројатност е еднаква на нула за секое x . Кај непрекинатата случајна променлива може да се определува само веројатноста дека x се наоѓа во некој интервал. Функцијата f(x) го претставува распоредот на веројатностите на континуираната алеаторна променлива X , ако ги задоволи следните услови:

  • 0 ≤ f(x) ≤ 1 значи дека функцијата не е негативна , т.е. f(x) ≥ 0
  • ∫_(-∞)^(+∞)Σ〖f(x)〗dx = 1 вкупната површина под кривата на f(x) секогаш е еднаква на 1 .

Веројатноста X да земе вредност во некој интервал , на пример ( a, b ) еднаква е на површината помеѓу кривата f(x) и оската X во должина на интервалот ( a,b ). Ако функцијата f(x) е интеграбилна таа површина може да се изрази преку определен интеграл . P ( a < X ≤ b ) = ∫_(-∞)^(+∞)Σ〖f(x)〗dx Бидејќи континуираната алеаторна променлива може да зема бесконечно многу вредности , веројатноста да земе една определена вредност е еднаква на 1⁄∞ = 0.Значи P ( a < X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a ≤ X ≤ b ) . Кога е веќе познат математичкиот израз на функцијата f(x) на непрекинатата алеаторна променлива , проблемот во врска со изнаоѓањето на веројатностите X да земе вредност во некој интервал се сведува на пресметување на соодветна површина под кривата . Постојат неколку модели на непрекинати распореди на веројатност :

  1. Нормален распоред : нормалната случајна порменлива X претставува непрекината променлива која зема бесконечен број можни вредности од - ∞ до + ∞ со функцијата f(x) која претставува распоред на веројатностите во дадениот интервал.Стандарфдизиран нормален распоред
  2. Студентов т-распоред
  3. x2 тест

Наводи[уреди]

  1. Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет – Скопје. ISBN: 978-608-212-009-6
  2. Paul Newbold, William Carlson, Betty Thorne (2012): Statistics for Business and Economics (8th Edition). ISBN: 978-0132745659.


Ова е избрана статија. Стиснете тука за повеќе информации.
Статијата „Веројатносен распоред“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).